Номер 266, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 266, страница 51.

Условие 2023.

266. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) известно, что $AC \perp BD$, $\angle CAD = 30^{\circ}$, $BD = 8$ см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $m$ - искомая средняя линия трапеции $ABCD$. Длина средней линии трапеции вычисляется как полусумма ее оснований:
$m = \frac{AD + BC}{2}$

Пусть диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Согласно условию, диагонали перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Это означает, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$, образованные пересечением диагоналей, являются прямоугольными, и $\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$.

Поскольку в трапеции основания параллельны ($BC \parallel AD$), накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle CAD$. По условию $\angle CAD = 30^\circ$, следовательно, $\angle BCA$ также равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOD$. Используя определение синуса острого угла, имеем:
$\sin(\angle OAD) = \frac{OD}{AD}$
Отсюда выражаем длину основания $AD$:
$AD = \frac{OD}{\sin(\angle OAD)} = \frac{OD}{\sin(30^\circ)}$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$:
$\sin(\angle OCB) = \frac{OB}{BC}$
Отсюда выражаем длину основания $BC$:
$BC = \frac{OB}{\sin(\angle OCB)} = \frac{OB}{\sin(30^\circ)}$

Теперь найдем сумму длин оснований трапеции, сложив полученные выражения для $AD$ и $BC$:
$AD + BC = \frac{OD}{\sin(30^\circ)} + \frac{OB}{\sin(30^\circ)} = \frac{OD + OB}{\sin(30^\circ)}$

Сумма отрезков $OD$ и $OB$ равна длине всей диагонали $BD$. По условию $BD = 8$ см. Также известно, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставляем эти значения в формулу для суммы оснований:
$AD + BC = \frac{BD}{\sin(30^\circ)} = \frac{8}{1/2} = 16$ см.

Наконец, вычисляем длину средней линии трапеции:
$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

Условие 2015-2022.

266. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) известно, что $AC \perp BD$, $\angle CAD = 30^\circ$, $BD = 8$ см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).