Номер 272, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 272, страница 51.

Условие 2023.

272. В окружности проведены диаметры $AB$ и $CD$. Докажите, что $AC = BD$ и $AC \parallel BD$.

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

$AC = BD$

Пусть O — центр окружности. Поскольку AB и CD являются диаметрами, они пересекаются в центре O. Это означает, что отрезки $AO, BO, CO, DO$ являются радиусами окружности, и, следовательно, $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. В этих треугольниках:
1. Сторона $AO$ равна стороне $BO$ (как радиусы).
2. Сторона $CO$ равна стороне $DO$ (как радиусы).
3. Угол $\angle AOC$ равен углу $\angle BOD$ (как вертикальные углы).

Таким образом, треугольник $\triangle AOC$ равен треугольнику $\triangle BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AC$ в $\triangle AOC$ и сторона $BD$ в $\triangle BOD$ являются соответствующими, так как лежат напротив равных углов $\angle AOC$ и $\angle BOD$. Следовательно, $AC = BD$.

Ответ: Равенство $AC = BD$ доказано.

$AC \parallel BD$

Из доказанного выше равенства треугольников ($\triangle AOC \cong \triangle BOD$) следует также равенство их соответствующих углов.

В частности, угол $\angle OAC$ (тот же, что и $\angle BAC$) равен углу $\angle OBD$ (тот же, что и $\angle ABD$), поскольку они лежат напротив равных сторон $CO$ и $DO$ в равных треугольниках.

Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и секущую $AB$. Углы $\angle BAC$ и $\angle ABD$ являются внутренними накрест лежащими углами.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны ($\angle BAC = \angle ABD$), то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны. То есть, $AC \parallel BD$.

Ответ: Параллельность $AC \parallel BD$ доказана.

Условие 2015-2022.

272. В окружности проведены диаметры $AB$ и $CD$. Докажите, что $AC = BD$ и $AC \parallel BD$.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).