Номер 270, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 270, страница 51.

Условие 2023.

270. Постройте трапецию:

1) по основаниям и диагоналям;

2) по боковым сторонам, средней линии и высоте;

3) по основанию, прилежащему к нему углу и боковым сторонам;

4) по боковым сторонам, высоте и одной из диагоналей.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по основаниям и диагоналям;

Пусть даны два отрезка, равные основаниям трапеции $a$ и $b$ (пусть $a > b$), и два отрезка, равные диагоналям $d_1$ и $d_2$. Требуется построить трапецию $ABCD$ с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и диагоналями $AC=d_1$, $BD=d_2$.

Анализ: Рассмотрим искомую трапецию $ABCD$. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$. Четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC \parallel DE$ (поскольку $BC \parallel AE$) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $CE = BD = d_2$ и $DE = BC = b$. Рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны известны: $AC = d_1$, $CE = d_2$, $AE = AD + DE = a + b$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACE$ по трем сторонам, а затем к построению самой трапеции.

Построение:

1. Строим отрезок $AE$ длиной $a+b$.
2. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d_1$.
3. Строим окружность с центром в точке $E$ и радиусом $d_2$.
4. Точка пересечения этих двух окружностей является вершиной $C$ треугольника $ACE$. (Задача имеет решение, если отрезки $a+b, d_1, d_2$ удовлетворяют неравенству треугольника).
5. На отрезке $AE$ откладываем отрезок $AD$, равный $a$. Точка $D$ является четвертой вершиной трапеции.
6. Для нахождения вершины $B$ проведем через точку $C$ прямую, параллельную $AE$.
7. На этой прямой отложим от точки $C$ отрезок $CB$, равный $b$, так, чтобы четырехугольник $ABCD$ был несамопересекающимся. (Альтернативно: проведем через точку $D$ прямую, параллельную $CE$. Точка пересечения этой прямой с прямой, проведенной через $C$ параллельно $AE$, и будет вершиной $B$).
8. Соединяем точки $A, B, C, D$. Трапеция $ABCD$ построена.

Доказательство: По построению $BC \parallel AD$, следовательно, $ABCD$ — трапеция. Основание $AD=a$ по построению. $BC=b$, так как $BCED$ - параллелограмм и $DE = AE - AD = (a+b)-a = b$. Диагональ $AC=d_1$ по построению. Диагональ $BD=CE=d_2$, так как $BCED$ — параллелограмм.

Ответ: задача решена построением вспомогательного треугольника со сторонами, равными сумме оснований и диагоналям трапеции.

2) по боковым сторонам, средней линии и высоте;

Пусть даны отрезки, равные боковым сторонам $c$ и $d$, средней линии $m$ и высоте $h$. Требуется построить трапецию $ABCD$ с боковыми сторонами $AB=c$, $CD=d$, высотой $h$ и средней линией $m$.

Анализ: Пусть $AD$ и $BC$ — основания трапеции. Средняя линия $m = (AD+BC)/2$, откуда $AD+BC = 2m$. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $F$. Четырехугольник $BCDF$ — параллелограмм, поэтому $BF=CD=d$ и $FD=BC$. Рассмотрим треугольник $ABF$. Его стороны: $AB=c$, $BF=d$. Основание $AF = AD - FD = AD - BC$. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $B$ на сторону $AF$, равна высоте трапеции $h$. Таким образом, мы можем построить треугольник $ABF$ по двум сторонам ($c$, $d$) и высоте ($h$), проведенной к третьей стороне. Длина третьей стороны $AF$ будет равна разности оснований $|AD-BC|$. Зная сумму оснований ($AD+BC=2m$) и разность оснований ($AD-BC=AF$), мы можем найти длины оснований $AD$ и $BC$. После этого задача сводится к построению трапеции по четырем сторонам.

Построение:

1. Проведем две параллельные прямые $p_1$ и $p_2$ на расстоянии $h$ друг от друга.
2. На прямой $p_1$ выберем произвольную точку $B$.
3. Из точки $B$ как из центра проведем окружность радиусом $c$. Она пересечет прямую $p_2$ в точке $A$. (Требуется $c \ge h$).
4. Из точки $B$ как из центра проведем окружность радиусом $d$. Она пересечет прямую $p_2$ в точке $F$. (Требуется $d \ge h$).
5. Получили отрезок $AF$ на прямой $p_2$. Его длина равна $|AD-BC|$. Обозначим $L=AF$.
6. Теперь найдем длины оснований. $AD = m + L/2$ и $BC = m - L/2$. Строим отрезки этих длин.
7. На прямой $p_2$ от точки $A$ откладываем отрезок $AD$ найденной длины.
8. Через точку $B$ проводим прямую, параллельную $AD$ (это прямая $p_1$).
9. Из точки $D$ как из центра проводим окружность радиусом $d$. Точка ее пересечения с прямой $p_1$ есть вершина $C$. (Нужно выбрать ту точку пересечения, которая образует несамопересекающийся четырехугольник $ABCD$).
10. Соединяем точки $A, B, C, D$. Трапеция $ABCD$ построена.

Ответ: задача решена построением вспомогательного треугольника со сторонами, равными боковым сторонам трапеции, и высотой, равной высоте трапеции, что позволило найти разность оснований.

3) по основанию, прилежащему к нему углу и боковым сторонам;

Пусть даны отрезок $a$, равный основанию $AD$, угол $\alpha$, равный $\angle DAB$, и отрезки $c$ и $d$, равные боковым сторонам $AB$ и $CD$.

Анализ: Мы можем последовательно построить элементы трапеции. Сначала строим треугольник $ABD'$, где $AD'$ - часть основания $AD$. Точнее, мы можем построить угол и две стороны, выходящие из него. Это задаст положение трех вершин $A, B, D$. Четвертая вершина $C$ находится на пересечении двух геометрических мест точек: прямой, параллельной основанию, и окружности.

Построение:

1. Строим отрезок $AD$ длиной $a$.
2. От луча $AD$ в точке $A$ откладываем угол, равный $\alpha$.
3. На стороне этого угла откладываем отрезок $AB$ длиной $c$. Таким образом, мы получаем вершины $A, B, D$.
4. Через точку $B$ проводим прямую $l$, параллельную $AD$. Вершина $C$ должна лежать на этой прямой.
5. Строим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d$. Вершина $C$ должна лежать на этой окружности.
6. Точка (или точки) пересечения прямой $l$ и окружности является искомой вершиной $C$. (Задача может иметь два, одно или не иметь решений в зависимости от соотношения $d$ и высоты трапеции $h=c \cdot \sin\alpha$).
7. Соединяем точки $A, B, C, D$. Трапеция $ABCD$ построена.

Доказательство: По построению $AD=a$, $AB=c$, $\angle DAB = \alpha$. Так как $BC$ лежит на прямой, параллельной $AD$, $ABCD$ — трапеция. Точка $C$ лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $d$, следовательно, $CD=d$.

Ответ: задача решается последовательным построением элементов: основания, угла, боковой стороны, а затем нахождением четвертой вершины как точки пересечения прямой и окружности.

4) по боковым сторонам, высоте и одной из диагоналей.

Пусть даны отрезки, равные боковым сторонам $c$ и $d$, высоте $h$ и диагонали $d_1$. Требуется построить трапецию $ABCD$, где $AB=c$, $CD=d$, высота равна $h$ и диагональ $AC=d_1$.

Анализ: Высота трапеции — это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат ее основания. Мы можем начать построение с этих прямых. Затем, разместив на них одну из вершин, мы можем последовательно найти остальные вершины, используя данные длины сторон и диагонали.

Построение:

1. Строим две параллельные прямые $p_1$ и $p_2$ на расстоянии $h$ друг от друга.
2. На прямой $p_2$ выбираем произвольную точку $A$.
3. Строим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d_1$. Точка пересечения этой окружности с прямой $p_1$ будет вершиной $C$. (Задача имеет решение, если $d_1 \ge h$).
4. Теперь у нас есть вершины $A$ и $C$. Найдем вершину $B$. Она лежит на прямой $p_1$ и на расстоянии $c$ от точки $A$. Строим окружность с центром $A$ и радиусом $c$. Точка пересечения этой окружности с прямой $p_1$ есть вершина $B$. (Задача имеет решение, если $c \ge h$. Может быть два решения для точки $B$, выбираем одно).
5. Найдем вершину $D$. Она лежит на прямой $p_2$ и на расстоянии $d$ от точки $C$. Строим окружность с центром $C$ и радиусом $d$. Точка пересечения этой окружности с прямой $p_2$ есть вершина $D$. (Задача имеет решение, если $d \ge h$. Может быть два решения для точки $D$).
6. Выбираем одну из возможных точек $D$ так, чтобы четырехугольник $ABCD$ был несамопересекающимся.
7. Соединяем точки $A, B, C, D$. Трапеция $ABCD$ построена.

Доказательство: По построению вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $p_1$, а вершины $A$ и $D$ — на прямой $p_2$. Так как $p_1 \parallel p_2$, четырехугольник $ABCD$ — трапеция. Расстояние между прямыми равно $h$, значит, высота трапеции равна $h$. Длины $AB=c$, $AC=d_1$, $CD=d$ по построению, так как точки $B, C, D$ были найдены как пересечения соответствующих окружностей.

Ответ: задача решается построением вершин трапеции на двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно высоте, с использованием заданных длин боковых сторон и диагонали.

Условие 2015-2022.

270. Постройте трапецию:

1) по основаниям и диагоналям;

2) по боковым сторонам, средней линии и высоте;

3) по основанию, прилежащему к нему углу и боковым сторонам;

4) по боковым сторонам, высоте и одной из диагоналей.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).