Номер 267, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 267, страница 51.

Условие 2023.

267. Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, принадлежит прямой, которая содержит её среднюю линию.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD \parallel BC$. Пусть $AB$ — боковая сторона. Биссектрисы углов $\angle A$ (то есть $\angle DAB$) и $\angle B$ (то есть $\angle CBA$) пересекаются в точке $K$.

Средняя линия трапеции лежит на прямой, все точки которой равноудалены от прямых, содержащих основания трапеции. Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно показать, что точка $K$ равноудалена от прямых $AD$ и $BC$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

Поскольку точка $K$ лежит на биссектрисе угла $\angle DAB$, она равноудалена от сторон этого угла — прямых $AD$ и $AB$. То есть, расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $AB$.

Аналогично, поскольку точка $K$ лежит на биссектрисе угла $\angle CBA$, она равноудалена от сторон этого угла — прямых $BC$ и $AB$. То есть, расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $AB$.

Таким образом, расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ и расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ равны одному и тому же значению — расстоянию от точки $K$ до прямой $AB$. Следовательно, точка $K$ равноудалена от прямых $AD$ и $BC$.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух параллельных прямых ($AD$ и $BC$), есть прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними. По определению, эта прямая и есть прямая, содержащая среднюю линию трапеции.

Так как точка $K$ равноудалена от оснований, она принадлежит этой прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равноудалена от оснований трапеции, а значит, лежит на прямой, содержащей её среднюю линию.

Условие 2015-2022.

267. Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, принадлежит прямой, которая содержит её среднюю линию.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).