Номер 265, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 265, страница 51.

Условие 2023.

265. Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, причем $BC \parallel AD$. Диагональ $AC$ делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$. По условию, оба этих треугольника являются равнобедренными.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим углы при большем основании $AD$ как $\angle A$ и $\angle D$, а углы при меньшем основании $BC$ как $\angle B$ и $\angle C$. Таким образом, $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$. Также известно, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Так как прямые $BC$ и $AD$ параллельны, то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AC$. Следовательно, они равны. Обозначим их величину через $\alpha$:$\angle BCA = \angle CAD = \alpha$.

Рассмотрим возможные случаи равнобедренности треугольников.

1. Анализ $\triangle ABC$.
Он равнобедренный. Предположим, что равными сторонами являются боковая сторона $AB$ и основание $BC$, то есть $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.Тогда угол трапеции при вершине $A$ равен сумме двух углов:$\angle A = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

2. Анализ $\triangle ACD$ и трапеции в целом.
Поскольку трапеция равнобокая, $\angle D = \angle A = 2\alpha$.Теперь рассмотрим углы треугольника $\triangle ACD$:

• $\angle CAD = \alpha$
• $\angle D = 2\alpha$
• $\angle ACD$ можно найти из того, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle D) = 180^\circ - (\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 3\alpha$.

По условию, $\triangle ACD$ также является равнобедренным. Это значит, что два из его углов должны быть равны. Сравним углы $\alpha$, $2\alpha$ и $180^\circ - 3\alpha$:

• Если $\alpha = 2\alpha$, то $\alpha = 0$, что невозможно.
• Если $\alpha = 180^\circ - 3\alpha$, то $4\alpha = 180^\circ$, откуда $\alpha = 45^\circ$. В этом случае $\angle A = 2\alpha = 90^\circ$. Трапеция с прямыми углами является прямоугольником. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Чтобы они были равнобедренными ($AB=BC$), прямоугольник должен быть квадратом. Это частный случай, который удовлетворяет условию, и углы трапеции равны $90^\circ$. Однако, обычно под трапецией понимают четырехугольник, у которого только одна пара параллельных сторон.
• Если $2\alpha = 180^\circ - 3\alpha$, то $5\alpha = 180^\circ$, откуда $\alpha = 36^\circ$. Этот случай соответствует непрямоугольной трапеции.

3. Вычисление углов трапеции.
Примем $\alpha = 36^\circ$ и найдем углы трапеции:

• Углы при большем основании $AD$: $\angle A = \angle D = 2\alpha = 2 \times 36^\circ = 72^\circ$.
• Углы при меньшем основании $BC$: $\angle B = \angle C = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Проверим, что при этих значениях условия задачи выполняются.При $\alpha = 36^\circ$:

• $\triangle ABC$: $\angle BAC = \angle BCA = 36^\circ$. Треугольник равнобедренный. Его третий угол $\angle B = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$, что совпадает с углом трапеции.
• $\triangle ACD$: Углы равны $\angle CAD = 36^\circ$, $\angle D = 72^\circ$, $\angle ACD = 180^\circ - 3 \times 36^\circ = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. Так как $\angle D = \angle ACD = 72^\circ$, треугольник $\triangle ACD$ также является равнобедренным.

Все условия задачи выполнены. Другие возможные варианты строения равнобедренных треугольников (например, $AC = BC$) приводят к этому же набору углов.

Ответ: углы трапеции равны $72^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$ и $108^\circ$.

Условие 2015-2022.

265. Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).