Номер 268, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 268, страница 51.

Условие 2023.

268. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то данная трапеция равнобокая.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основаниями являются $AD$ и $BC$ ($AD || BC$), а диагонали равны, то есть $AC = BD$. Требуется доказать, что трапеция является равнобокой, то есть её боковые стороны равны: $AB = CD$.

Доказательство:

Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырёхугольник $BCED$. По построению $CE || BD$. Кроме того, $BC || DE$, поскольку $DE$ является частью прямой $AE$, а $BC || AD$ по определению трапеции. Следовательно, четырёхугольник $BCED$ является параллелограммом.

По свойству параллелограмма его противоположные стороны равны, поэтому $CE = BD$.

По условию задачи диагонали трапеции равны: $AC = BD$. Сопоставляя это с равенством $CE = BD$, мы получаем, что $AC = CE$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Так как у него две стороны равны ($AC = CE$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle CAE = \angle CEA$.

Так как прямые $CE$ и $BD$ параллельны, а прямая $AE$ является для них секущей, то углы $\angle CEA$ и $\angle BDA$ равны как соответственные углы.

Из равенств $\angle CAE = \angle CEA$ и $\angle CEA = \angle BDA$ следует, что $\angle CAE = \angle BDA$. Угол $\angle CAE$ совпадает с углом $\angle CAD$, поэтому $\angle CAD = \angle BDA$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. В этих треугольниках:

1. Сторона $AD$ — общая.

2. $BD = AC$ по условию задачи.

3. $\angle BDA = \angle CAD$, как было доказано выше.

Таким образом, $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CD$.

Поскольку боковые стороны трапеции равны, данная трапеция является равнобокой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

268. Постройте трапецию:

1) по основаниям и боковым сторонам;

2) по основанию, высоте и диагоналям;

3) по разности оснований, боковым сторонам и диагонали.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).