Номер 275, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 275, страница 51.

Условие 2023.

275. Хорда $AB$ окружности с центром $O$ перпендикулярна радиусу $OC$ и делит его пополам. Найдите:

1) $\angle AOB$;

2) $\angle ACB$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $R$ — радиус окружности с центром в точке $O$. Тогда отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами, и их длины равны $R$: $OA = OB = OC = R$.

Пусть $M$ — точка пересечения хорды $AB$ и радиуса $OC$. Согласно условию задачи:

1. Хорда $AB$ перпендикулярна радиусу $OC$, что означает $\angle OMA = 90^\circ$.

2. Хорда $AB$ делит радиус $OC$ пополам, то есть $OM = MC = \frac{1}{2}OC = \frac{R}{2}$.

1) ∠AOB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$ ($\angle OMA = 90^\circ$). В нем гипотенуза $OA$ равна $R$, а катет $OM$ равен $\frac{R}{2}$.

Найдем угол $\angle AOM$, используя определение косинуса:

$\cos(\angle AOM) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$

Угол в прямоугольном треугольнике, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle AOM = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle OMB$. Они равны по гипотенузе и катету, так как:

• Они оба прямоугольные.
• Гипотенузы $OA$ и $OB$ равны $R$.
• Катет $OM$ у них общий.

Из равенства треугольников ($\triangle OMA \cong \triangle OMB$) следует равенство их углов: $\angle BOM = \angle AOM = 60^\circ$.

Центральный угол $\angle AOB$ равен сумме углов $\angle AOM$ и $\angle BOM$:

$\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 120^\circ$.

2) ∠ACB

Для нахождения вписанного угла $\angle ACB$ найдем длины сторон треугольника $\triangle ABC$.

Найдем длину стороны $AC$. В треугольнике $\triangle OAC$ стороны $OA$ и $OC$ равны $R$. Угол между этими сторонами, $\angle AOC$, равен $\angle AOM = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Следовательно, $\triangle OAC$ — равносторонний, и $AC = R$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle OBC$ стороны $OB$ и $OC$ равны $R$, а угол между ними $\angle BOC = \angle BOM = 60^\circ$. Следовательно, $\triangle OBC$ — равносторонний, и $BC = R$.

Найдем длину стороны $AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OMA$ по теореме Пифагора найдем катет $AM$:

$AM^2 = OA^2 - OM^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

$AM = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Так как радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам ($AM = BM$), то длина хорды $AB$ равна $2 \cdot AM$:

$AB = 2 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

Теперь мы знаем все три стороны треугольника $\triangle ABC$: $AC=R$, $BC=R$, $AB=R\sqrt{3}$. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle ACB$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим найденные длины сторон:

$(R\sqrt{3})^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\angle ACB)$

$3R^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(\angle ACB)$

Вычтем $2R^2$ из обеих частей:

$R^2 = -2R^2 \cos(\angle ACB)$

Разделим обе части на $-2R^2$ (так как $R \ne 0$):

$\cos(\angle ACB) = -\frac{1}{2}$

Угол в треугольнике, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, составляет $120^\circ$.

$\angle ACB = 120^\circ$.

Ответ: $\angle ACB = 120^\circ$.

Условие 2015-2022.

275. Хорда $AB$ окружности с центром $O$ перпендикулярна радиусу $OC$ и делит его пополам. Найдите:

1) $\angle AOB$;

2) $\angle ACB$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).