Номер 273, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 273, страница 51.

Условие 2023.

273. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что $\angle BOC = 2\angle BAC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольник $AOC$.

Отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности с центром в точке $O$, поэтому они равны: $OA = OC$.

Так как в треугольнике $AOC$ две стороны равны, он является равнобедренным с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA$.

Поскольку точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой (так как $AB$ — диаметр), угол $\angle BOC$ является внешним углом треугольника $AOC$ при вершине $O$.

По теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BOC = \angle OAC + \angle OCA$

Так как мы ранее установили, что $\angle OAC = \angle OCA$, мы можем заменить $\angle OCA$ на $\angle OAC$ в данном равенстве:

$\angle BOC = \angle OAC + \angle OAC = 2\angle OAC$

Угол $\angle OAC$ — это тот же угол, что и $\angle BAC$, поскольку точка $O$ лежит на отрезке $AB$. Следовательно, мы можем записать:

$\angle BOC = 2\angle BAC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\angle BOC = 2\angle BAC$.

Условие 2015-2022.

273. В окружности с центром $O$ проведены диаметр $AB$ и хорда $AC$. Докажите, что $\angle BOC = 2\angle BAC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).