Номер 264, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 264, страница 50.

Условие 2023.

264. Диагональ прямоугольной трапеции разбивает её на два треугольника, один из которых является равносторонним со стороной $a$. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC — основания (AD || BC), а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (∠A = ∠B = 90°). Диагональ трапеции делит её на два треугольника. По условию, один из них является равносторонним со стороной a.

Треугольник, у которого один из углов прямой (90°), не может быть равносторонним, так как все углы равностороннего треугольника равны 60°. Следовательно, равносторонним будет тот треугольник, который не содержит прямого угла трапеции.

Рассмотрим два возможных случая в зависимости от того, какая диагональ проведена.

Случай 1: Проведена диагональ AC
В этом случае равносторонним является треугольник ADC, так как треугольник ABC содержит прямой угол ∠B.
Следовательно, все его стороны равны a: AD = DC = AC = a.
Все углы треугольника ADC равны 60°, в частности ∠DAC = 60°.
Угол трапеции ∠DAB равен 90°. Он состоит из двух углов: ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB.
Отсюда находим угол ∠CAB:
∠CAB = ∠DAB - ∠DAC = 90° - 60° = 30°.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (∠B = 90°). В нём гипотенуза AC = a, а катет BC лежит напротив угла в 30°. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
$BC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$.
Таким образом, основания трапеции равны AD = a и BC = $a/2$.

Случай 2: Проведена диагональ BD
В этом случае равносторонним является треугольник BCD, так как треугольник ABD содержит прямой угол ∠A.
Следовательно, все его стороны равны a: BC = CD = BD = a.
Все углы треугольника BCD равны 60°, в частности ∠CBD = 60°.
Угол трапеции ∠ABC равен 90°. Он состоит из двух углов: ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD.
Отсюда находим угол ∠ABD:
∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 90° - 60° = 30°.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (∠A = 90°). В нём гипотенуза BD = a, а катет AD лежит напротив угла в 30°.
$AD = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}$.
Таким образом, основания трапеции равны BC = a и AD = $a/2$.

Оба случая приводят к одному и тому же результату: основания трапеции равны a и $a/2$.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} = \frac{3a}{4}$.

Ответ: $\frac{3a}{4}$

Условие 2015-2022.

264. Диагональ прямоугольной трапеции разбивает её на два треугольника, один из которых является равносторонним со стороной $a$. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).