Номер 10, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 10, страница 56.

Условие 2023.

10. Чему равна градусная мера вписанного угла?

Решение 6 (2023).

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны являются хордами, исходящими из этой вершины. Дуга, расположенная внутри вписанного угла, называется дугой, на которую он опирается.

Теорема о вписанном угле гласит, что его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Если вписанный угол $ \angle ABC $ опирается на дугу $ \overarc{AC} $, то его величина находится по формуле: $$ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{m}(\overarc{AC}) $$ где $ \text{m}(\overarc{AC}) $ — это градусная мера дуги $ AC $.

Поскольку градусная мера центрального угла (угол с вершиной в центре окружности) равна градусной мере дуги, на которую он опирается, можно также утверждать, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Если $ O $ — центр окружности, а $ \angle AOC $ — центральный угол, опирающийся на дугу $ \overarc{AC} $, то: $$ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC $$

Следствия из теоремы:

1. Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.

2. Вписанный угол, который опирается на диаметр (то есть на дугу, равную $180^\circ$), является прямым углом ($90^\circ$).

Пример:

Если градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, составляет $110^\circ$, то градусная мера самого вписанного угла будет равна: $$ \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ $$

Ответ: Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Условие 2015-2022.

10. Чему равна градусная мера вписанного угла?