Страница 35 - гдз по химии 8 класс задачник Кузнецова, Левкин

3-41. Какую массу соли надо добавить к 80 г воды, чтобы получить 20%-ный раствор соли?

Дано:

$m_{воды} = 80 \text{ г}$

$\omega_{соли} = 20\% = 0.2$

Перевод в систему СИ:

$m_{воды} = 0.08 \text{ кг}$

Найти:

$m_{соли}$ - ?

Решение:

Массовая доля растворенного вещества ($\omega$) в растворе определяется по формуле:

$\omega = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}}$

где $m_{вещества}$ - масса растворенного вещества (в данном случае соли), а $m_{раствора}$ - общая масса раствора.

Масса раствора складывается из массы растворителя (воды) и массы растворенного вещества (соли):

$m_{раствора} = m_{воды} + m_{соли}$

Обозначим искомую массу соли как $x$. Тогда:

$m_{соли} = x$

Масса всего раствора будет равна:

$m_{раствора} = 80 + x \text{ (г)}$

Подставим известные значения и переменную $x$ в формулу для массовой доли, выразив проценты в долях единицы ($20\% = 0.2$):

$0.2 = \frac{x}{80 + x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$0.2 \cdot (80 + x) = x$

$0.2 \cdot 80 + 0.2 \cdot x = x$

$16 + 0.2x = x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$16 = x - 0.2x$

$16 = 0.8x$

Найдем $x$:

$x = \frac{16}{0.8}$

$x = 20$

Таким образом, масса соли, которую необходимо добавить, составляет 20 г.

Ответ: необходимо добавить 20 г соли.

3-42. Какую массу воды надо добавить к 500 г. 10%-ного раствора соли, чтобы раствор стал 1%-ным?

Дано:

$m_{p1} = 500$ г

$\omega_1 = 10\%$

$\omega_2 = 1\%$

Перевод всех данных в систему СИ:

$m_{p1} = 0.5$ кг

$\omega_1 = 0.1$

$\omega_2 = 0.01$

Найти:

$m_{воды}$ - ?

Решение:

Масса соли в растворе при добавлении воды не изменяется. Сначала найдем массу соли ($m_{соли}$) в исходном 10%-ном растворе массой 500 г. Массовая доля вещества ($\omega$) вычисляется как отношение массы растворенного вещества к массе раствора.

$m_{соли} = m_{p1} \cdot \omega_1$

Для расчетов переведем проценты в доли: $\omega_1 = 10\% = 0.1$.

$m_{соли} = 500 \text{ г} \cdot 0.1 = 50 \text{ г}$

Эта масса соли (50 г) будет содержаться в новом растворе, но его концентрация станет равной $\omega_2 = 1\% = 0.01$. Найдем массу нового раствора ($m_{p2}$), в котором 50 г соли составляют 1%.

$\omega_2 = \frac{m_{соли}}{m_{p2}}$

Отсюда масса нового раствора:

$m_{p2} = \frac{m_{соли}}{\omega_2} = \frac{50 \text{ г}}{0.01} = 5000 \text{ г}$

Масса нового раствора ($m_{p2}$) складывается из массы исходного раствора ($m_{p1}$) и массы добавленной воды ($m_{воды}$).

$m_{p2} = m_{p1} + m_{воды}$

Чтобы найти массу добавленной воды, вычтем из массы нового раствора массу исходного раствора:

$m_{воды} = m_{p2} - m_{p1} = 5000 \text{ г} - 500 \text{ г} = 4500 \text{ г}$

Переведем полученную массу в килограммы: $4500 \text{ г} = 4.5 \text{ кг}$.

Ответ: чтобы раствор стал 1%-ным, надо добавить 4500 г (4.5 кг) воды.

3-43. Какую массу воды надо добавить к 200 г 25%-ного раствора соли, чтобы раствор стал 10%-ным?

3-43.

Дано:

Масса исходного раствора $m_{p1} = 200 \text{ г}$
Начальная массовая доля соли $w_1 = 25\%$
Конечная массовая доля соли $w_2 = 10\%$

Перевод данных в СИ и безразмерные величины:
$m_{p1} = 0.2 \text{ кг}$
$w_1 = 0.25$
$w_2 = 0.10$

Найти:

Массу добавленной воды $m_{H_2O}$

Решение:

Основной принцип при решении таких задач заключается в том, что масса растворенного вещества (в данном случае соли) остается неизменной при добавлении растворителя (воды).
1. Сначала вычислим массу соли ($m_{соли}$) в исходном 200 г 25%-ного раствора. Массовая доля ($w$) связана с массой вещества и массой раствора формулой:
$w = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}}$
Отсюда масса соли:
$m_{соли} = m_{p1} \cdot w_1$
Подставим числовые значения, предварительно выразив проценты в долях ($25\% = 0.25$):
$m_{соли} = 200 \text{ г} \cdot 0.25 = 50 \text{ г}$
2. Теперь мы знаем, что в конечном растворе также содержится 50 г соли, но его концентрация должна составлять 10% ($w_2 = 0.10$). Рассчитаем, какой должна быть общая масса нового раствора ($m_{p2}$), чтобы удовлетворить этому условию.
$m_{p2} = \frac{m_{соли}}{w_2}$
$m_{p2} = \frac{50 \text{ г}}{0.10} = 500 \text{ г}$
3. Масса конечного раствора ($m_{p2}$) складывается из массы исходного раствора ($m_{p1}$) и массы добавленной воды ($m_{H_2O}$):
$m_{p2} = m_{p1} + m_{H_2O}$
Чтобы найти искомую массу воды, вычтем из массы конечного раствора массу исходного:
$m_{H_2O} = m_{p2} - m_{p1}$
$m_{H_2O} = 500 \text{ г} - 200 \text{ г} = 300 \text{ г}$

Ответ: необходимо добавить 300 г воды.

3-44. Какую массу соли надо добавить к 5 кг 1%-ного раствора соли, чтобы раствор соли стал 10%-ным?

3-44.

Дано:

Масса исходного раствора ($m_{p1}$) = 5 кг
Массовая доля соли в исходном растворе ($w_1$) = 1% = 0,01
Массовая доля соли в конечном растворе ($w_2$) = 10% = 0,1

Найти:

Массу соли, которую надо добавить ($m_{доб.соли}$) - ?

Решение:

1. Сначала определим массу соли, которая содержится в исходном 5 кг 1%-ного раствора. Массовая доля растворенного вещества ($w$) вычисляется по формуле:
$w = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}}$
Следовательно, масса соли в исходном растворе ($m_{соли1}$) равна:
$m_{соли1} = m_{p1} \cdot w_1 = 5 \text{ кг} \cdot 0,01 = 0,05 \text{ кг}$

2. Пусть $x$ — это масса соли (в кг), которую необходимо добавить в раствор. После добавления соли, общая масса соли в новом растворе ($m_{соли2}$) станет:
$m_{соли2} = m_{соли1} + x = 0,05 + x$

3. Общая масса нового раствора ($m_{p2}$) также увеличится на массу добавленной соли:
$m_{p2} = m_{p1} + x = 5 + x$

4. По условию, концентрация нового раствора ($w_2$) должна стать 10% (или 0,1). Составим уравнение, используя формулу для массовой доли для нового раствора:
$w_2 = \frac{m_{соли2}}{m_{p2}}$
Подставим выражения для масс и известное значение $w_2$:
$0,1 = \frac{0,05 + x}{5 + x}$

5. Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$0,1 \cdot (5 + x) = 0,05 + x$
$0,5 + 0,1x = 0,05 + x$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:
$x - 0,1x = 0,5 - 0,05$
$0,9x = 0,45$
$x = \frac{0,45}{0,9}$
$x = 0,5 \text{ кг}$

Следовательно, чтобы получить 10%-ный раствор, нужно добавить 0,5 кг соли.

Ответ: необходимо добавить 0,5 кг соли.

3-45. Какую массу соли надо добавить к 500 г 10%-ного раствора соли, чтобы раствор соли стал 25%-ным?

3-45.

Дано:

Масса исходного раствора $m_{раствора1} = 500 \text{ г}$
Массовая доля соли в исходном растворе $w_1 = 10\%$
Требуемая массовая доля соли в конечном растворе $w_2 = 25\%$

$m_{раствора1} = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

Найти:

Массу добавленной соли $m_{добавленной\_соли}$

Решение:

Для удобства вычислений оставим массу в граммах. Массовая доля растворенного вещества ($w$) в растворе определяется как отношение массы растворенного вещества ($m_{вещества}$) к общей массе раствора ($m_{раствора}$):

$w = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}}$

1. Сначала вычислим массу соли ($m_{соли1}$), которая содержится в 500 г 10%-ного раствора. Для этого переведем проценты в доли ($10\% = 0.1$):

$m_{соли1} = m_{раствора1} \times w_1 = 500 \text{ г} \times 0.10 = 50 \text{ г}$

2. Пусть $x$ — это масса соли (в граммах), которую нужно добавить в раствор.

После добавления $x$ граммов соли, масса соли в новом растворе ($m_{соли2}$) станет равна сумме исходной массы соли и добавленной массы:

$m_{соли2} = m_{соли1} + x = 50 + x$

Общая масса нового раствора ($m_{раствора2}$) также увеличится на массу добавленной соли:

$m_{раствора2} = m_{раствора1} + x = 500 + x$

3. Новый раствор должен иметь концентрацию $w_2 = 25\%$ (или 0.25 в долях). Подставим новые значения масс в формулу для массовой доли, чтобы составить уравнение:

$w_2 = \frac{m_{соли2}}{m_{раствора2}}$

$0.25 = \frac{50 + x}{500 + x}$

4. Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$0.25 \times (500 + x) = 50 + x$
$125 + 0.25x = 50 + x$
$x - 0.25x = 125 - 50$
$0.75x = 75$
$x = \frac{75}{0.75}$
$x = 100 \text{ г}$

Следовательно, для получения 25%-ного раствора необходимо добавить 100 г соли.

Ответ: необходимо добавить 100 г соли.

3-46. Какая масса пергидроля (30%-ного раствора пероксида водорода $H_2O_2$) и воды потребуется для приготовления 100 г 3%-ного раствора пероксида водорода, используемого в медицине для обработки ран и ссадин?

Дано:

$m_{раствора \ 2} = 100 \text{ г}$

$\omega_2(\text{H}_2\text{O}_2) = 3\% = 0.03$

$\omega_1(\text{H}_2\text{O}_2) = 30\% = 0.30$

Найти:

$m_{раствора \ 1}$ (масса пергидроля) - ?

$m(\text{H}_2\text{O})$ (масса воды) - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся понятием массовой доли вещества в растворе, которая определяется по формуле:

$\omega = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}}$

1. Рассчитаем массу чистого пероксида водорода ($H_2O_2$), которая должна содержаться в конечном 3%-ном растворе массой 100 г.

$m_{вещества}(\text{H}_2\text{O}_2) = m_{раствора \ 2} \cdot \omega_2(\text{H}_2\text{O}_2) = 100 \text{ г} \cdot 0.03 = 3 \text{ г}$

2. Это количество чистого $H_2O_2$ (3 г) мы должны взять из исходного 30%-ного раствора (пергидроля). Рассчитаем, какая масса 30%-ного раствора содержит 3 г $H_2O_2$.

$m_{раствора \ 1} = \frac{m_{вещества}(\text{H}_2\text{O}_2)}{\omega_1(\text{H}_2\text{O}_2)} = \frac{3 \text{ г}}{0.30} = 10 \text{ г}$

Следовательно, для приготовления нужного раствора потребуется 10 г пергидроля.

3. Конечная масса раствора (100 г) складывается из массы исходного раствора пергидроля и массы добавленной воды. Найдем необходимую массу воды.

$m(\text{H}_2\text{O}) = m_{раствора \ 2} - m_{раствора \ 1} = 100 \text{ г} - 10 \text{ г} = 90 \text{ г}$

Ответ: для приготовления 100 г 3%-ного раствора пероксида водорода потребуется 10 г пергидроля и 90 г воды.

3-47. В продажу поступает аммиачная вода с массовой долей аммиака $NH_3$ 25%. Какая масса аммиачной воды и какая масса дистиллированной воды потребуются для приготовления 50 г нашатырного спирта (10%-ного раствора аммиака)?

Дано:

Массовая доля аммиака NH₃ в исходном растворе (аммиачной воде), $\omega_1 = 25\% = 0.25$

Масса конечного раствора (нашатырного спирта), $m_{конечн.р-ра} = 50 \text{ г}$

Массовая доля аммиака NH₃ в конечном растворе, $\omega_{конечн.р-ра} = 10\% = 0.10$

Найти:

Массу аммиачной воды, $m_{исх.р-ра}$ - ?

Массу дистиллированной воды, $m_{воды}$ - ?

Решение:

1. Первым шагом определим массу чистого аммиака ($NH_3$), которая должна содержаться в 50 г 10%-ного раствора нашатырного спирта. Масса растворенного вещества вычисляется по формуле:

$m_{вещества} = m_{раствора} \times \omega_{вещества}$

Подставим значения для конечного раствора:

$m(NH_3) = m_{конечн.р-ра} \times \omega_{конечн.р-ра} = 50 \text{ г} \times 0.10 = 5 \text{ г}$

2. Эта масса аммиака (5 г) должна быть взята из исходного 25%-ного раствора аммиачной воды. Теперь можно рассчитать, какая масса этого раствора потребуется.

$m_{исх.р-ра} = \frac{m(NH_3)}{\omega_1}$

$m_{исх.р-ра} = \frac{5 \text{ г}}{0.25} = 20 \text{ г}$

Следовательно, необходимо взять 20 г 25%-ной аммиачной воды.

3. Конечный раствор состоит из исходного раствора и добавленной дистиллированной воды. Общая масса конечного раствора равна сумме масс его компонентов.

$m_{конечн.р-ра} = m_{исх.р-ра} + m_{воды}$

Отсюда находим массу дистиллированной воды, которую нужно добавить:

$m_{воды} = m_{конечн.р-ра} - m_{исх.р-ра} = 50 \text{ г} - 20 \text{ г} = 30 \text{ г}$

Ответ: для приготовления 50 г нашатырного спирта потребуется 20 г аммиачной воды и 30 г дистиллированной воды.

3-48. Какие массы 25%-ного и 5%-ного растворов серной кислоты $H_2SO_4$ потребуются для приготовления 40 г 20%-ного раствора этой кислоты смешиванием двух исходных растворов?

Дано:

Массовая доля первого раствора серной кислоты: $\omega_1 = 25\% = 0.25$
Массовая доля второго раствора серной кислоты: $\omega_2 = 5\% = 0.05$
Масса конечного раствора: $m_3 = 40 \text{ г} = 0.04 \text{ кг}$
Массовая доля конечного раствора: $\omega_3 = 20\% = 0.20$

Найти:

Массу первого (25%) раствора - $m_1$?
Массу второго (5%) раствора - $m_2$?

Решение:

Для решения данной задачи можно использовать метод составления системы уравнений. Пусть $m_1$ — искомая масса 25%-ного раствора, а $m_2$ — искомая масса 5%-ного раствора.

Первое уравнение системы составим исходя из того, что общая масса конечного раствора равна сумме масс исходных растворов:

$m_1 + m_2 = m_3$

$m_1 + m_2 = 40$ (1)

Второе уравнение составим на основе закона сохранения массы растворенного вещества (серной кислоты). Масса кислоты в каждом растворе вычисляется как произведение массы раствора на массовую долю растворенного вещества ($\omega$).

Масса H₂SO₄ в первом растворе: $m_{к1} = m_1 \cdot \omega_1 = 0.25 \cdot m_1$.
Масса H₂SO₄ во втором растворе: $m_{к2} = m_2 \cdot \omega_2 = 0.05 \cdot m_2$.
Масса H₂SO₄ в конечном 20%-ном растворе: $m_{к3} = m_3 \cdot \omega_3 = 40 \cdot 0.20 = 8$ г.

Сумма масс серной кислоты в исходных растворах должна быть равна массе кислоты в полученном растворе:

$m_{к1} + m_{к2} = m_{к3}$

$0.25 \cdot m_1 + 0.05 \cdot m_2 = 8$ (2)

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 40 \\ 0.25 \cdot m_1 + 0.05 \cdot m_2 = 8 \end{cases}$

Выразим $m_2$ из первого уравнения:

$m_2 = 40 - m_1$

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$0.25 \cdot m_1 + 0.05 \cdot (40 - m_1) = 8$

Решим уравнение относительно $m_1$:

$0.25 \cdot m_1 + 2 - 0.05 \cdot m_1 = 8$

$0.20 \cdot m_1 = 8 - 2$

$0.20 \cdot m_1 = 6$

$m_1 = \frac{6}{0.20}$

$m_1 = 30$ г

Теперь найдем массу второго раствора $m_2$, подставив найденное значение $m_1$ в выражение $m_2 = 40 - m_1$:

$m_2 = 40 - 30$

$m_2 = 10$ г

Таким образом, для приготовления 40 г 20%-ного раствора серной кислоты необходимо смешать 30 г 25%-ного раствора и 10 г 5%-ного раствора.

Ответ: требуется 30 г 25%-ного раствора и 10 г 5%-ного раствора серной кислоты.

3-49. Какие массы $10\%$-ного и $5\%$-ного растворов гидроксида натрия NaOH потребуются для приготовления $200$ г $8\%$-ного раствора?

Дано:

Массовая доля первого раствора $NaOH$, $w_1 = 10\% = 0.1$
Массовая доля второго раствора $NaOH$, $w_2 = 5\% = 0.05$
Масса конечного раствора, $m_{конечн} = 200$ г
Массовая доля конечного раствора $NaOH$, $w_{конечн} = 8\% = 0.08$

Найти:

Массу 10%-го раствора, $m_1$ - ?
Массу 5%-го раствора, $m_2$ - ?

Решение:

Для решения данной задачи можно использовать метод, основанный на составлении системы уравнений. Пусть $m_1$ — искомая масса 10%-ного раствора, а $m_2$ — искомая масса 5%-ного раствора.

Первое уравнение в системе будет отражать баланс масс растворов. Сумма масс исходных растворов равна массе конечного раствора: $m_1 + m_2 = m_{конечн}$ $m_1 + m_2 = 200$

Второе уравнение будет отражать баланс масс растворенного вещества (гидроксида натрия). Масса чистого $NaOH$ в конечном растворе равна сумме масс чистого $NaOH$ в исходных растворах. Масса растворенного вещества вычисляется по формуле $m_{вещества} = m_{раствора} \cdot w$, где $w$ - массовая доля.

Масса $NaOH$ в 10%-ном растворе: $m_1 \cdot w_1 = 0.1 \cdot m_1$
Масса $NaOH$ в 5%-ном растворе: $m_2 \cdot w_2 = 0.05 \cdot m_2$
Масса $NaOH$ в конечном 8%-ном растворе: $m_{конечн} \cdot w_{конечн} = 200 \text{ г} \cdot 0.08 = 16 \text{ г}$

Составим второе уравнение: $0.1 \cdot m_1 + 0.05 \cdot m_2 = 16$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} m_1 + m_2 = 200 \\ 0.1 \cdot m_1 + 0.05 \cdot m_2 = 16 \end{cases} $

Для решения системы выразим $m_2$ из первого уравнения: $m_2 = 200 - m_1$

Теперь подставим полученное выражение для $m_2$ во второе уравнение: $0.1 \cdot m_1 + 0.05 \cdot (200 - m_1) = 16$

Решим это уравнение относительно $m_1$: $0.1 \cdot m_1 + 0.05 \cdot 200 - 0.05 \cdot m_1 = 16$
$0.1 \cdot m_1 + 10 - 0.05 \cdot m_1 = 16$
$(0.1 - 0.05) \cdot m_1 = 16 - 10$
$0.05 \cdot m_1 = 6$
$m_1 = \frac{6}{0.05}$
$m_1 = 120$ г

Мы нашли массу 10%-ного раствора. Теперь найдем массу 5%-ного раствора, подставив значение $m_1$ в выражение для $m_2$: $m_2 = 200 - m_1 = 200 - 120 = 80$ г

Следовательно, для приготовления 200 г 8%-ного раствора гидроксида натрия необходимо взять 120 г 10%-ного раствора и 80 г 5%-ного раствора.

Ответ: потребуется 120 г 10%-ного раствора и 80 г 5%-ного раствора.

3-50. Какие массы 40%-ного и 20%-ного растворов азотной кислоты $HNO_3$ потребуются для получения 100 г 25%-ного раствора $HNO_3$ смешиванием исходных растворов?

Дано:

Массовая доля $HNO_3$ в первом растворе, $w_1 = 40\%$
Массовая доля $HNO_3$ во втором растворе, $w_2 = 20\%$
Масса конечного раствора, $m_3 = 100$ г
Массовая доля $HNO_3$ в конечном растворе, $w_3 = 25\%$

Найти:

Массу 40%-го раствора, $m_1$ — ?
Массу 20%-го раствора, $m_2$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения массы. Пусть $m_1$ — искомая масса 40%-го раствора, а $m_2$ — искомая масса 20%-го раствора.

Составим первое уравнение, исходя из того, что суммарная масса исходных растворов равна массе конечного раствора:
$m_1 + m_2 = m_3$
$m_1 + m_2 = 100$ (1)

Составим второе уравнение, исходя из того, что масса растворенного вещества (азотной кислоты) в конечном растворе равна сумме масс растворенного вещества в исходных растворах. Массу вещества в растворе можно найти по формуле $m_{вещества} = m_{раствора} \cdot w$, где $w$ - массовая доля, выраженная в долях от единицы.
$m_1 \cdot w_1 + m_2 \cdot w_2 = m_3 \cdot w_3$
Переводя проценты в доли: $w_1 = 0.40$; $w_2 = 0.20$; $w_3 = 0.25$.
$m_1 \cdot 0.40 + m_2 \cdot 0.20 = 100 \cdot 0.25$
$0.40 \cdot m_1 + 0.20 \cdot m_2 = 25$ (2)

Теперь решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} m_1 + m_2 = 100 \\ 0.40 m_1 + 0.20 m_2 = 25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m_2$:
$m_2 = 100 - m_1$

Подставим полученное выражение во второе уравнение и решим его относительно $m_1$:
$0.40 m_1 + 0.20(100 - m_1) = 25$
$0.40 m_1 + 20 - 0.20 m_1 = 25$
$0.20 m_1 = 25 - 20$
$0.20 m_1 = 5$
$m_1 = \frac{5}{0.20}$
$m_1 = 25$ г

Теперь найдем массу второго раствора, подставив значение $m_1$ в первое уравнение:
$m_2 = 100 - m_1 = 100 - 25 = 75$ г

Ответ: для получения 100 г 25%-ного раствора $HNO_3$ потребуется 25 г 40%-ного раствора и 75 г 20%-ного раствора.