Номер 12, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 12, страница 12.

Решение.

Решение 2 (rus).

Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Для общего вида уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если $x_1$ и $x_2$ — его корни, то их сумма равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а их произведение равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Для приведенного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ формулы принимают вид: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$. Применим эти формулы для решения задачи, предварительно убедившись, что уравнения имеют действительные корни (дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$).

а) Дано уравнение $x^2 - 9x - 10 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=-9$, $c=-10$.
Проверим дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета для приведенного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -10$.
Ответ: сумма корней равна 9, произведение корней равно -10.

б) Дано уравнение $x^2 + 12x + 7 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=12$, $c=7$.
Проверим дискриминант: $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 144 - 28 = 116$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета для приведенного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -12$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 7$.
Ответ: сумма корней равна -12, произведение корней равно 7.

в) Дано уравнение $5x^2 + 5x - 10 = 0$.
Это полное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=5$, $b=5$, $c=-10$.
Проверим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 25 + 200 = 225$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По общей теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{5} = -1$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-10}{5} = -2$.
Ответ: сумма корней равна -1, произведение корней равно -2.

г) Дано уравнение $2x^2 - 16x + 30 = 0$.
Это полное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=2$, $b=-16$, $c=30$.
Проверим дискриминант: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 256 - 240 = 16$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По общей теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-16}{2} = 8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{30}{2} = 15$.
Ответ: сумма корней равна 8, произведение корней равно 15.