Номер 16, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 16, страница 12.

Условие.

16. a) Площадь футбольного поля равна $6000 \text{ м}^2$. Найдите периметр поля, если его длина на $40 \text{ м}$ больше ширины.

б) Найдите длины сторон прямоугольного треугольника, если его площадь равна $96 \text{ см}^2$ и один катет больше другого на $4 \text{ см}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Пусть ширина футбольного поля равна $x$ м. Согласно условию, длина на 40 м больше, значит, длина равна $(x + 40)$ м. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($l$) и ширины ($w$). Составим уравнение, зная, что площадь равна 6000 м²:

$S = w \cdot l$

$x \cdot (x + 40) = 6000$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 40x - 6000 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6000) = 1600 + 24000 = 25600$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + \sqrt{25600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 + 160}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - \sqrt{25600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 - 160}{2} = -100$

Корень $x_2 = -100$ не подходит, так как ширина не может быть отрицательной. Следовательно, ширина поля составляет 60 м.

Тогда длина поля равна $60 + 40 = 100$ м.

Периметр поля ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$:

$P = 2(100 + 60) = 2 \cdot 160 = 320$ м.

Ответ: 320 м.

б) Пусть меньший катет прямоугольного треугольника равен $a$ см. Тогда, по условию, больший катет $b$ равен $(a + 4)$ см. Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения его катетов. Зная, что площадь равна 96 см², составим уравнение:

$S = \frac{1}{2}ab$

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot (a + 4) = 96$

Умножим обе части на 2 и приведем уравнение к стандартному виду:

$a(a + 4) = 192$

$a^2 + 4a - 192 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 28}{2} = -16$

Корень $a_2 = -16$ не имеет физического смысла, так как длина стороны не может быть отрицательной. Значит, меньший катет равен 12 см.

Больший катет равен $12 + 4 = 16$ см.

Для нахождения третьей стороны (гипотенузы $c$) воспользуемся теоремой Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$:

$c^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$c = \sqrt{400} = 20$ см.

Таким образом, длины сторон треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см.

Ответ: 12 см, 16 см, 20 см.