Номер 13, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 13, страница 12.

Условие.

13. Один корень трехчлена $x^2 + bx + 35$ равен $-7$. Найдите другой его корень, коэффициент $b$ и разложите трехчлен на множители.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дан квадратный трехчлен $x^2 + bx + 35$. По условию, один из его корней равен $x_1 = -7$. Корень трехчлена – это такое значение переменной $x$, при котором значение трехчлена обращается в ноль. Следовательно, корни трехчлена являются корнями квадратного уравнения $x^2 + bx + 35 = 0$.

Для решения задачи удобно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае уравнение имеет вид $x^2 + bx + 35 = 0$, поэтому коэффициенты $p=b$ и $q=35$.

Найдите другой его корень
Воспользуемся формулой для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.
Подставим известные значения $x_1 = -7$ и $q = 35$:
$(-7) \cdot x_2 = 35$
Чтобы найти $x_2$, разделим обе части уравнения на -7:
$x_2 = \frac{35}{-7}$
$x_2 = -5$
Ответ: -5.

коэффициент b
Теперь воспользуемся формулой для суммы корней: $x_1 + x_2 = -p$.
Подставим известные корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -5$, а также $p = b$:
$(-7) + (-5) = -b$
$-12 = -b$
$b = 12$
Ответ: 12.

разложите трехчлен на множители
Общая формула для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + Bx + C$ на множители при известных корнях $x_1$ и $x_2$ выглядит так: $a(x - x_1)(x - x_2)$.
Наш трехчлен, с учетом найденного $b=12$, имеет вид $x^2 + 12x + 35$. Старший коэффициент $a=1$. Корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -5$.
Подставим эти значения в формулу разложения:
$1 \cdot (x - (-7))(x - (-5))$
Это выражение упрощается до:
$(x + 7)(x + 5)$
Для проверки можно раскрыть скобки: $(x + 7)(x + 5) = x^2 + 5x + 7x + 35 = x^2 + 12x + 35$. Результат совпадает с исходным трехчленом.
Ответ: $(x + 7)(x + 5)$.