Номер 14, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 14, страница 12.

Условие.

14. При каких значениях x равно нулю выражение:

a) $\frac{(x-7)(x+3)}{5x};$

б) $\frac{(x+2)(x-1)}{3x};$

в) $\frac{x^2 - 5x}{x^2 - 25};$

г) $\frac{x^2 + 4x}{x^2 - 16}?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Заданное выражение: $\frac{(x-7)(x+3)}{5x}$.
1. Приравняем числитель к нулю:
$(x-7)(x+3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x-7 = 0$ или $x+3 = 0$
$x = 7$ или $x = -3$
2. Проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю при этих значениях $x$ (область допустимых значений):
$5x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.
Оба найденных корня, $7$ и $-3$, удовлетворяют этому условию.
Ответ: $-3; 7$.

б) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Заданное выражение: $\frac{(x+2)(x-1)}{3x}$.
1. Приравняем числитель к нулю:
$(x+2)(x-1) = 0$
$x+2 = 0$ или $x-1 = 0$
$x = -2$ или $x = 1$
2. Проверим область допустимых значений:
$3x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.
Оба найденных корня, $-2$ и $1$, удовлетворяют этому условию.
Ответ: $-2; 1$.

в) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Заданное выражение: $\frac{x^2 - 5x}{x^2 - 25}$.
1. Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 5x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x-5) = 0$
$x = 0$ или $x-5 = 0$
$x = 0$ или $x = 5$
2. Проверим область допустимых значений:
$x^2 - 25 \neq 0$
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов:
$(x-5)(x+5) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Из двух потенциальных корней ($0$ и $5$) корень $x=5$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Корень $x=0$ удовлетворяет условию.
Ответ: $0$.

г) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Заданное выражение: $\frac{x^2 + 4x}{x^2 - 16}$.
1. Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 4x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x+4) = 0$
$x = 0$ или $x+4 = 0$
$x = 0$ или $x = -4$
2. Проверим область допустимых значений:
$x^2 - 16 \neq 0$
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов:
$(x-4)(x+4) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Из двух потенциальных корней ($0$ и $-4$) корень $x=-4$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Корень $x=0$ удовлетворяет условию.
Ответ: $0$.