Номер 8, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 8, страница 12.

Условие.

8. Укажите уравнение, не имеющее корней:

а) $3x^2 = -27$;

б) $x^2 + 9 = 0$;

в) $(x + 2)^2 = 0$;

г) $5x - x^2 = 0$;

д) $(x - 3)^2 + 4 = 0$;

е) $x^2 + x + 2 = 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы определить, какие из предложенных уравнений не имеют корней, проанализируем каждое из них. Уравнение не имеет действительных корней, если в результате преобразований мы приходим к неверному равенству (например, квадрат числа равен отрицательному числу) или если для квадратного уравнения его дискриминант отрицателен.

а) $3x^2 = -27$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 = \frac{-27}{3}$
$x^2 = -9$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку правая часть уравнения отрицательна (-9), равенство невозможно ни для какого действительного значения $x$.
Ответ: уравнение не имеет корней.

б) $x^2 + 9 = 0$
Перенесем 9 в правую часть уравнения, изменив знак:
$x^2 = -9$
Как и в предыдущем случае, квадрат действительного числа не может быть равен отрицательному числу.
Ответ: уравнение не имеет корней.

в) $(x + 2)^2 = 0$
Если квадрат некоторого выражения равен нулю, то и само это выражение равно нулю:
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Уравнение имеет один корень.
Ответ: уравнение имеет корень $x = -2$.

г) $5x - x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5 - x) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $5 - x = 0$
Из второго уравнения получаем $x = 5$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: уравнение имеет корни $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

д) $(x - 3)^2 + 4 = 0$
Перенесем 4 в правую часть уравнения:
$(x - 3)^2 = -4$
Выражение $(x - 3)^2$ является квадратом и, следовательно, не может быть отрицательным для любого действительного $x$. Таким образом, $(x - 3)^2 \ge 0$. Равенство с отрицательным числом -4 невозможно.
Ответ: уравнение не имеет корней.

е) $x^2 + x + 2 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1, b=1, c=2$. Найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: уравнение не имеет корней.