Номер 248, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 248, страница 77.

Условие.

248. Сколько всего имеется натуральных чисел, меньших 1000, в записи которых все цифры различные?

Решение.

Решение 2 (rus).

Натуральные числа, меньшие 1000, — это числа от 1 до 999. Чтобы найти количество таких чисел, в записи которых все цифры различны, необходимо рассмотреть три группы чисел: однозначные, двузначные и трёхзначные.

Однозначные числа

Это натуральные числа от 1 до 9. Каждое из них состоит из одной цифры, поэтому условие о различии цифр для них выполняется автоматически.
Всего таких чисел: 9.

Двузначные числа

Двузначное число состоит из двух различных цифр.
Первую цифру (разряд десятков) можно выбрать 9 способами (любая цифра от 1 до 9, так как число не может начинаться с нуля).
После выбора первой цифры, вторую цифру (разряд единиц) можно выбрать из оставшихся 9 цифр (любая из 10 цифр от 0 до 9, за исключением уже использованной).
По правилу умножения в комбинаторике, общее количество двузначных чисел с различными цифрами равно: $9 \times 9 = 81$.

Трёхзначные числа

Трёхзначное число состоит из трёх различных цифр.
Первую цифру (разряд сотен) можно выбрать 9 способами (любая цифра от 1 до 9).
Вторую цифру (разряд десятков) можно выбрать 9 способами (любая из 10 цифр, кроме уже выбранной первой).
Третью цифру (разряд единиц) можно выбрать 8 способами (любая из 10 цифр, кроме двух уже использованных).
Общее количество трёхзначных чисел с различными цифрами равно: $9 \times 9 \times 8 = 648$.

Общее количество

Чтобы найти итоговое количество натуральных чисел меньше 1000 с различными цифрами, сложим количества, полученные для каждой группы:
$9 + 81 + 648 = 738$.

Ответ: 738