Номер 245, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 245, страница 76.

Условие.

245. При выборе комиссии из нескольких человек в составе председателя, заместителя и секретаря подсчитали все возможные варианты. Их число оказалось равным 3360. Из скольких кандидатов выбиралась эта комиссия?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику. Нам нужно определить, из скольких кандидатов ($n$) можно составить комиссию из трех человек на три разные должности (председатель, заместитель, секретарь) 3360 способами.

Поскольку должности в комиссии уникальны, порядок выбора кандидатов важен. Например, если кандидат А - председатель, а Б - заместитель, это не то же самое, что Б - председатель, а А - заместитель. Такие упорядоченные выборки называются размещениями.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)$

В нашем случае, мы выбираем $k=3$ человек из $n$ кандидатов. По условию, число всех возможных вариантов равно 3360. Составим уравнение:$A_n^3 = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) = 3360$

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, что произведение трех последовательных целых чисел равно 3360. Можно решить это уравнение подбором, оценив примерное значение $n$. Для этого найдем кубический корень из 3360:$\sqrt[3]{3360} \approx \sqrt[3]{3375} = 15$

Значит, искомое число $n$ должно быть близко к 15. Проверим числа в окрестности 15.

Пусть $n=15$. Тогда произведение будет $15 \cdot 14 \cdot 13 = 210 \cdot 13 = 2730$. Это меньше 3360.

Пусть $n=16$. Тогда произведение будет $16 \cdot 15 \cdot 14 = 240 \cdot 14 = 3360$. Это и есть искомое значение.

Таким образом, общее число кандидатов, из которых выбиралась комиссия, равно 16.
Ответ: комиссия выбиралась из 16 кандидатов.