Номер 246, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 246, страница 76.

Условие.

246. Слово состоит из различных букв. Сколько в нем букв, если число размещений из них по 4 различные буквы равно 840?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $n$ — это общее количество различных букв в слове. По условию, из этих $n$ букв составляются размещения по 4 различные буквы, и число таких размещений равно 840.
Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$
В нашем случае $k=4$ и $A_n^4 = 840$. Подставим эти значения в формулу:
$A_n^4 = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) = 840$
Нам нужно найти натуральное число $n$ (где $n \ge 4$), которое является решением этого уравнения. Уравнение представляет собой произведение четырех последовательных целых чисел, равное 840. Решим его методом подбора.
Попробуем найти приблизительное значение $n$. Так как $5^4 = 625$ и $6^4 = 1296$, то $n$ должно быть близко к этим числам.
Проверим $n=5$: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$. Это меньше 840.
Проверим $n=6$: $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$. Это меньше 840.
Проверим $n=7$: $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 42 \cdot 20 = 840$. Это значение нам подходит.
Следовательно, количество букв в слове равно 7.
Ответ: 7.