Номер 240, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 240, страница 76.

Условие.

240. Докажите, что:

а) $A_{10}^5 = 6A_{10}^4$;

б) $A_{15}^7 = 15A_{14}^6$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства данных тождеств воспользуемся формулой для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

а) Докажем, что $A_{10}^5 = 6A_{10}^4$.

Сначала преобразуем левую часть равенства, используя формулу размещений:

$A_{10}^5 = \frac{10!}{(10-5)!} = \frac{10!}{5!}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$6A_{10}^4 = 6 \cdot \frac{10!}{(10-4)!} = 6 \cdot \frac{10!}{6!}$.

Используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$, а именно $6! = 6 \cdot 5!$, упростим выражение для правой части:

$6 \cdot \frac{10!}{6!} = 6 \cdot \frac{10!}{6 \cdot 5!} = \frac{10!}{5!}$.

Таким образом, левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению $\frac{10!}{5!}$, следовательно, тождество верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что $A_{15}^7 = 15A_{14}^6$.

Сначала преобразуем левую часть равенства, используя формулу размещений:

$A_{15}^7 = \frac{15!}{(15-7)!} = \frac{15!}{8!}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$15A_{14}^6 = 15 \cdot \frac{14!}{(14-6)!} = 15 \cdot \frac{14!}{8!}$.

Используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$, а именно $15! = 15 \cdot 14!$, упростим выражение для левой части:

$\frac{15!}{8!} = \frac{15 \cdot 14!}{8!}$.

Мы видим, что преобразованная левая часть $\frac{15 \cdot 14!}{8!}$ идентична правой части $15 \cdot \frac{14!}{8!}$, следовательно, тождество верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.