Номер 235, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 235, страница 76.

Условие.

235. Сколькими способами могут занять четыре различные вакансии 9 претендентов на них?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов, которыми можно распределить 9 претендентов на 4 различные вакансии. Поскольку вакансии разные, порядок распределения кандидатов имеет значение. Например, если кандидат А займет должность 1, а кандидат Б — должность 2, это будет один способ. Если же кандидат Б займет должность 1, а кандидат А — должность 2, это будет уже другой способ.

Такие комбинации, в которых важен порядок элементов, называются размещениями. Число размещений из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае из 9 по 4) вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где:
$n$ — общее количество элементов (претендентов), $n=9$.
$k$ — количество выбираемых элементов (вакансий), $k=4$.

Подставим наши значения в формулу:

$A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!}$

Теперь вычислим результат, сократив факториалы:

$A_9^4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Выполним умножение:

$9 \times 8 \times 7 \times 6 = 72 \times 42 = 3024$

Таким образом, существует 3024 способа занять четыре различные вакансии девятью претендентами.

Ответ: 3024