Номер 231, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 231, страница 73.

Условие.

231. На школьном концерте хотели выступить Адинай, Байтас, Вера, Гульден, Дархан. Сколькими способами можно составить список их выступлений, если:

а) Байтас не будет выступать перед Адинай;

б) Гульден выступит сразу после Дархана?

Решение.

Решение 2 (rus).

Всего в концерте участвуют 5 человек: Адинай, Байтас, Вера, Гульден, Дархан. Общее число возможных способов составить список выступлений (перестановок) равно $P_5 = 5!$. $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

а) Условие "Байтас не будет выступать перед Адинай" означает, что Адинай должна выступить раньше Байтаса. Во всех возможных перестановках из 5 человек существует полная симметрия относительно взаимного расположения любых двух участников. Это значит, что ровно в половине всех списков Байтас выступает перед Адинай, а в другой половине — Адинай выступает перед Байтасом. Следовательно, количество способов, удовлетворяющих условию, равно половине от общего числа перестановок. Количество способов = $ \frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60 $.
Другой способ решения: Выберем 2 места из 5 для Адинай и Байтаса. Это можно сделать $C_5^2$ способами. Поскольку Адинай должна быть раньше, их порядок на этих двух местах определен однозначно. Оставшиеся 3 человека могут занять оставшиеся 3 места $3!$ способами. Итого: $C_5^2 \times 1 \times 3! = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times 3! = \frac{5!}{2! \times 3!} \times 3! = \frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
Ответ: 60 способов.

б) Условие "Гульден выступит сразу после Дархана" означает, что их можно рассматривать как единый, неделимый блок (Дархан, Гульден). Теперь задача сводится к тому, чтобы расположить в списке 4 "объекта":
1. Блок (Дархан, Гульден)
2. Адинай
3. Байтас
4. Вера
Число способов расставить 4 объекта — это число перестановок из 4 элементов, то есть $P_4 = 4!$. $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24 способа.