Номер 226, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 226, страница 73.

Условие.

226. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 7 команд, если никакие две из них не наберут поровну очков?

Решение.

Решение 2 (rus).

В задаче требуется найти количество способов, которыми 7 команд могут расположиться в турнирной таблице. Важным условием является то, что "никакие две из них не наберут поровну очков". Это означает, что все команды будут иметь разное итоговое количество очков, и, следовательно, займут 7 уникальных мест в таблице (с 1-го по 7-е).

Таким образом, задача сводится к определению числа всех возможных упорядоченных последовательностей из 7 команд. В комбинаторике это называется числом перестановок.

Рассуждаем следующим образом:

• На первое место может претендовать любая из 7 команд.
• После того как определился победитель, на второе место может претендовать любая из оставшихся 6 команд.
• На третье место — любая из оставшихся 5 команд.
• И так далее, до седьмого места, на которое останется только одна, последняя команда.

Общее количество способов является произведением числа вариантов для каждого места. Это соответствует вычислению факториала числа команд. Число перестановок из $n$ элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле:

$P_n = n!$

В нашем случае $n=7$, поэтому нам нужно вычислить $7!$:

$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$7! = 42 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 210 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 840 \times 3 \times 2 \times 1 = 2520 \times 2 \times 1 = 5040$

Следовательно, существует 5040 способов расположения команд в турнирной таблице при заданных условиях.

Ответ: 5040.