Номер 222, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 222, страница 72.

Условие.

222. Сколькими способами можно рассадить на длинной скамейке 11 человек?

Решение.

Решение 2 (rus).

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики, а именно, через нахождение числа перестановок. Нам нужно определить, сколькими различными способами можно упорядочить 11 человек на 11 местах. Порядок рассадки важен, так как каждая последовательность людей на скамейке считается уникальным способом.

Представим процесс рассадки пошагово:

1. На первое место на скамейке может сесть любой из 11 человек, то есть у нас есть 11 вариантов.

2. После того как один человек занял свое место, на второе место претендуют оставшиеся 10 человек. Значит, для второго места есть 10 вариантов.

3. Для третьего места остается 9 человек, то есть 9 вариантов.

4. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до последнего, одиннадцатого, места, на которое может сесть только один оставшийся человек (1 вариант).

Общее количество способов рассадки находится путем перемножения числа вариантов для каждого места. Это соответствует числу перестановок из 11 элементов, которое обозначается как $P_{11}$ и вычисляется как факториал числа 11 ($11!$).

Формула для числа перестановок из $n$ элементов: $P_n = n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$

В нашем случае $n = 11$, поэтому количество способов: $P_{11} = 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Рассчитаем значение этого выражения: $11! = 39\;916\;800$

Следовательно, существует 39 916 800 различных способов рассадить 11 человек на длинной скамейке.

Ответ: 39 916 800.