Занимательные задачи 4, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - страница 69.

Условие.

4) Представьте в виде суммы степеней числа 2 год своего рождения.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы определить, существует ли такое значение $x$, при котором верно равенство $ \sin x \cdot \cos x = \sqrt{0,4\sqrt{0,4}} $, необходимо проанализировать обе части этого равенства.

1. Преобразуем левую часть, используя формулу синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $. Отсюда можно выразить произведение синуса и косинуса:$ \sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} $.

2. Теперь упростим правую часть равенства, используя свойства степеней:$ \sqrt{0,4\sqrt{0,4}} = \sqrt{0,4 \cdot (0,4)^{1/2}} = \sqrt{(0,4)^{1 + 1/2}} = \sqrt{(0,4)^{3/2}} = \left((0,4)^{3/2}\right)^{1/2} = (0,4)^{3/4} $.

3. Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:$ \frac{\sin(2x)}{2} = (0,4)^{3/4} $.Умножим обе части на 2:$ \sin(2x) = 2 \cdot (0,4)^{3/4} $.

4. Область значений функции синус для любого действительного аргумента — это отрезок $ [-1; 1] $. Следовательно, для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы его правая часть $ 2 \cdot (0,4)^{3/4} $ принадлежала этому отрезку. Проверим это.
Сравним значение $ 2 \cdot (0,4)^{3/4} $ с 1. Это сравнение эквивалентно сравнению $ (0,4)^{3/4} $ с $ \frac{1}{2} = 0,5 $.
Чтобы избавиться от дробного показателя, возведем оба числа в 4-ю степень. Так как функция $ y = z^4 $ является возрастающей для положительных $z$, знак неравенства между исходными числами сохранится.
Сравниваем $ \left((0,4)^{3/4}\right)^4 $ и $ (0,5)^4 $.
$ (0,4)^3 $ и $ (0,5)^4 $.
$ 0,064 $ и $ 0,0625 $.
Поскольку $ 0,064 > 0,0625 $, то и $ (0,4)^{3/4} > 0,5 $.
Умножая последнее неравенство на 2, получаем:$ 2 \cdot (0,4)^{3/4} > 2 \cdot 0,5 $, что равносильно $ 2 \cdot (0,4)^{3/4} > 1 $.

Таким образом, мы получили уравнение $ \sin(2x) = A $, где значение $ A = 2 \cdot (0,4)^{3/4} $ строго больше 1. Так как максимальное значение функции $ \sin(2x) $ равно 1, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет, такого значения x не существует.