Занимательные задачи 1, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Основные понятия и правила комбинаторики. II. Элементы комбинаторики - страница 69.

Условие.

1) В банке находятся пауки и жуки, всего насчитывается 50 ног.

Сколько там жуков и пауков, если у паука 8 ног, а у жука 6 ног?

Решение.

Решение 2 (rus).

1)

Нам дано равенство для углов треугольника $ABC$: $\sin A - \cos A = \cos B - \sin B$.

Для доказательства утверждения преобразуем это равенство. Сгруппируем слагаемые с синусами в левой части уравнения, а с косинусами — в правой:

$\sin A + \sin B = \cos A + \cos B$

Теперь воспользуемся тригонометрическими формулами суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Применив эти формулы к нашему равенству, получим:

$2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$

Разделим обе части на 2 и перенесём все члены в левую часть:

$\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} - \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} = 0$

Вынесем общий множитель $\cos\frac{A-B}{2}$ за скобки:

$\cos\frac{A-B}{2} \left( \sin\frac{A+B}{2} - \cos\frac{A+B}{2} \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos\frac{A-B}{2} = 0$.

Поскольку $A$ и $B$ являются углами треугольника, они удовлетворяют условиям $0^\circ < A < 180^\circ$ и $0^\circ < B < 180^\circ$. Из этих неравенств следует, что $-180^\circ < A-B < 180^\circ$, а значит $-90^\circ < \frac{A-B}{2} < 90^\circ$. В этом интервале косинус всегда положителен и не может быть равен нулю. Следовательно, этот случай невозможен для углов треугольника.

Случай 2: $\sin\frac{A+B}{2} - \cos\frac{A+B}{2} = 0$.

Из этого уравнения следует, что $\sin\frac{A+B}{2} = \cos\frac{A+B}{2}$.

Так как $A$ и $B$ — углы треугольника, их сумма $A+B$ находится в интервале $0^\circ < A+B < 180^\circ$. Следовательно, для полусуммы верно неравенство $0^\circ < \frac{A+B}{2} < 90^\circ$. В этом интервале $\cos\frac{A+B}{2}$ не равен нулю, поэтому мы можем разделить обе части равенства на него:

$\frac{\sin\frac{A+B}{2}}{\cos\frac{A+B}{2}} = 1$

$\text{tg}\frac{A+B}{2} = 1$

Единственным решением этого уравнения в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$ является $\frac{A+B}{2} = 45^\circ$.

Отсюда получаем, что $A+B = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то есть $A+B+C = 180^\circ$. Подставим найденное значение суммы $A+B$:

$90^\circ + C = 180^\circ$

Решая это уравнение относительно $C$, находим:

$C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, мы доказали, что если для $\triangle ABC$ верно исходное равенство, то угол $C$ равен $90^\circ$.

Ответ: Что и требовалось доказать.