Вопросы, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - страница 72.

Условие.

1. Дайте определение понятия перестановки.

2. Что называется факториалом числа?

3. По какой формуле находят число перестановок без повторений из n элементов?

4. Докажите, что $P_n = n \cdot P_{n-1}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Дайте определение понятия перестановки.

Перестановкой из $n$ элементов называется любое упорядоченное множество (или последовательность), в котором каждый из этих $n$ элементов встречается ровно один раз. Другими словами, это различные комбинации, которые можно составить из элементов множества, меняя их местами. Порядок элементов в перестановке имеет значение. Например, для множества из трех элементов {А, Б, В} перестановками будут (А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б) и (В, Б, А). Всего существует 6 перестановок.

Ответ: Перестановка — это упорядоченный набор элементов, составленный из всех элементов данного множества.

2. Что называется факториалом числа?

Факториалом натурального числа $n$ (обозначается как $n!$) называется произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Формула для вычисления факториала:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$

По определению, факториал нуля равен единице: $0! = 1$. Факториал используется в комбинаторике для подсчета числа перестановок. Например, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

Ответ: Факториал числа $n$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

3. По какой формуле находят число перестановок без повторений из n элементов?

Число всех возможных перестановок из $n$ различных элементов (без повторений) обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле, использующей факториал:

$P_n = n!$

Эта формула следует из правила умножения в комбинаторике. На первое место в последовательности можно поставить любой из $n$ элементов. На второе — любой из оставшихся $n-1$ элементов, и так далее, до последнего элемента, для которого остается только один вариант. Общее число способов равно $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1$, что и является определением $n!$.

Ответ: Число перестановок без повторений из $n$ элементов находится по формуле $P_n = n!$.

4. Докажите, что $P_n = n \cdot P_{n-1}$.

Доказательство основывается на определениях числа перестановок и факториала.

1. По определению, число перестановок из $n$ элементов равно $P_n = n!$.

2. Распишем факториал $n!$ по определению:
$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

3. Заметим, что часть выражения, а именно произведение $(n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$, является факториалом числа $(n-1)$, то есть $(n-1)!$.

4. Таким образом, мы можем переписать выражение для $n!$ следующим образом:
$n! = n \cdot ((n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1) = n \cdot (n-1)!$

5. По определению, число перестановок из $(n-1)$ элементов равно $P_{n-1} = (n-1)!$.

6. Подставим $P_n$ и $P_{n-1}$ в равенство из шага 4:
$P_n = n \cdot P_{n-1}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство следует из определений $P_n = n!$ и $n! = n \cdot (n-1)!$. Так как $P_{n-1} = (n-1)!$, то, подставляя, получаем $P_n = n \cdot P_{n-1}$.