Номер 223, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 223, страница 73.

Условие.

223. В поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить за каждым из них одного из 14 проводников?

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная задача относится к разделу комбинаторики и представляет собой задачу на нахождение числа перестановок. У нас есть 14 различных вагонов и 14 различных проводников. Необходимо каждому вагону назначить ровно одного проводника, так, чтобы все проводники были задействованы.
Рассмотрим процесс назначения проводников на вагоны поочередно.
Для первого вагона мы можем выбрать любого из 14 проводников, что дает нам 14 вариантов выбора.
После того как проводник для первого вагона выбран, для второго вагона остается 13 проводников. Следовательно, для него существует 13 вариантов выбора.
Для третьего вагона остается 12 проводников, то есть 12 вариантов.
Продолжая эту логику, для каждого следующего вагона количество возможных кандидатов-проводников будет уменьшаться на единицу. Для последнего, четырнадцатого вагона, останется только один проводник.
Согласно основному правилу комбинаторики (правилу произведения), общее количество способов распределения равно произведению числа вариантов на каждом шаге:
$N = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
Это произведение является факториалом числа 14 и обозначается как $14!$. Число способов расставить $n$ различных объектов по $n$ различным местам (число перестановок) вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В нашем случае $n=14$, и нам нужно вычислить значение $14!$:
$14! = 87\,178\,291\,200$.
Таким образом, существует $87\,178\,291\,200$ способов распределить 14 проводников по 14 вагонам.

Ответ: $87\,178\,291\,200$.