Номер 229, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 229, страница 73.

Условие.

229. Сколько пятизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 0, 3, 5, 7, 9?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи воспользуемся правилом произведения из комбинаторики. Нам нужно составить пятизначное число, которое удовлетворяет двум условиям: оно должно быть пятизначным и кратным пяти. Число составляется из цифр {0, 3, 5, 7, 9}. Так как в условии не сказано, что цифры не могут повторяться, мы предполагаем, что повторения разрешены.

Представим пятизначное число в виде пяти позиций, которые нужно заполнить цифрами: _ _ _ _ _.

1. Последняя цифра. Число кратно пяти, если оно оканчивается на 0 или 5. В нашем наборе цифр {0, 3, 5, 7, 9} есть и 0, и 5. Значит, на последнюю, пятую, позицию можно поставить одну из этих двух цифр. Таким образом, у нас есть 2 варианта для последней цифры.

2. Первая цифра. Число является пятизначным, если его первая цифра не равна нулю. Из нашего набора {0, 3, 5, 7, 9} на первую позицию можно поставить любую цифру, кроме 0. Это могут быть цифры {3, 5, 7, 9}. Таким образом, для первой позиции у нас есть 4 варианта.

3. Остальные цифры. Для второй, третьей и четвертой позиций нет никаких ограничений, кроме того, что они должны быть из заданного набора. Поэтому на каждую из этих трех позиций можно поставить любую из пяти данных цифр {0, 3, 5, 7, 9}. То есть для каждой из этих позиций существует по 5 вариантов.

Теперь найдем общее количество возможных чисел, перемножив количество вариантов для каждой позиции:

Количество вариантов = (варианты для 1-й цифры) × (варианты для 2-й цифры) × (варианты для 3-й цифры) × (варианты для 4-й цифры) × (варианты для 5-й цифры).

Подставляем наши значения:

$N = 4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 2 = 1000$

Следовательно, из данных цифр можно составить 1000 пятизначных чисел, кратных пяти.

Ответ: 1000.