Номер 232, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 232, страница 73.

Условие.

232. В коробке 7 цветных и 5 простых карандашей одинаковой формы. Исследуйте, какое наименьшее количество карандашей надо взять из коробки, не заглядывая в нее, чтобы среди них было не меньше 2 цветных и 1 простого карандашей.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи нужно рассмотреть наихудший сценарий. Мы должны определить, какое максимальное количество карандашей можно вытащить из коробки так, чтобы требуемое условие все еще не выполнялось. Следующий вытащенный карандаш и будет гарантировать выполнение условия.

В коробке находятся 7 цветных и 5 простых карандашей. Нам нужно, чтобы среди вытащенных было не менее 2 цветных и не менее 1 простого карандаша.

Рассмотрим наихудший вариант развития событий, при котором мы как можно дольше не можем получить нужную комбинацию. Такой сценарий предполагает, что нам попадаются карандаши того типа, который максимально оттягивает выполнение условия. Самый неблагоприятный случай — это когда мы сначала вытащим все карандаши самого многочисленного типа, которые не позволяют выполнить одну из частей условия.

Предположим, что нам сначала попадаются только цветные карандаши. Мы можем вытащить все 7 цветных карандашей. После 7-й попытки у нас на руках будет 7 цветных и 0 простых карандашей. В этом случае условие «не менее 1 простого карандаша» не выполняется.

Поскольку все цветные карандаши уже извлечены, в коробке остались только простые. Это означает, что следующий, 8-й по счету карандаш, который мы вытащим, будет гарантированно простым.

Таким образом, после извлечения 8 карандашей у нас в наихудшем случае будет 7 цветных и 1 простой. Эта комбинация полностью удовлетворяет исходному условию, так как количество цветных карандашей не меньше двух ($7 \ge 2$), а количество простых — не меньше одного ($1 \ge 1$).

Если рассмотреть другой вариант (сначала вытаскивать все простые), то мы вытащим 5 простых карандашей. Условие «не менее 2 цветных» не выполнено. Чтобы его выполнить, нужно вытащить еще 2 карандаша, которые будут гарантированно цветными. Всего потребуется $5 + 2 = 7$ карандашей. Этот сценарий менее "неудачный".

Для получения гарантии мы должны ориентироваться на самый худший из возможных сценариев, который требует максимального числа извлечений. В данном случае это 8 карандашей.

Ответ: 8 карандашей.