Номер 234, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Перестановки без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 234, страница 73.

Условие.

234. Докажите, что любое число вида $4n^4 + 1$, где $n \in N$, является простым числом лишь при $n = 1$ (задача немецкого математика Х. Гольдбаха (1690–1764).

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства данного утверждения рассмотрим два случая: когда $n=1$ и когда $n>1$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел).

Сначала проверим случай, когда $n=1$. Подставим это значение в выражение $4n^4 + 1$:

$4(1)^4 + 1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5$

Число 5 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Следовательно, при $n=1$ утверждение верно.

Теперь рассмотрим случай, когда $n$ — натуральное число большее 1, то есть $n>1$. Нам нужно доказать, что в этом случае число $4n^4 + 1$ будет составным. Для этого преобразуем выражение, чтобы разложить его на множители. Воспользуемся методом выделения полного квадрата, добавив и отняв слагаемое $4n^2$:

$4n^4 + 1 = (4n^4 + 4n^2 + 1) - 4n^2$

Первые три слагаемых в скобках представляют собой полный квадрат суммы $(2n^2 + 1)^2$. Выражение $4n^2$ также является полным квадратом $(2n)^2$. Таким образом, мы получаем разность квадратов:

$(2n^2 + 1)^2 - (2n)^2$

Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$(2n^2 + 1 - 2n)(2n^2 + 1 + 2n)$

Итак, мы разложили исходное выражение на два множителя: $(2n^2 - 2n + 1)$ и $(2n^2 + 2n + 1)$.

Чтобы число было составным, оба множителя должны быть целыми числами, большими 1. Поскольку $n$ — натуральное число, оба множителя являются целыми. Проверим, больше ли они 1 при $n>1$.

Для первого множителя $2n^2 - 2n + 1$:

Поскольку $n>1$, то $n \ge 2$.$2n^2 - 2n + 1 = 2n(n-1) + 1$. Так как $n \ge 2$, то $n > 0$ и $n-1 > 0$. Следовательно, произведение $2n(n-1)$ положительно. Наименьшее значение этого выражения при $n=2$ равно $2 \cdot 2 \cdot (2-1) + 1 = 5$. Таким образом, первый множитель $2n^2 - 2n + 1 > 1$.

Для второго множителя $2n^2 + 2n + 1$:

Поскольку $n \ge 2$, все слагаемые положительны. Наименьшее значение этого выражения при $n=2$ равно $2(2^2) + 2(2) + 1 = 8 + 4 + 1 = 13$. Таким образом, второй множитель $2n^2 + 2n + 1 > 1$.

Так как при $n>1$ число $4n^4+1$ представляется в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1, оно является составным.

Таким образом, мы доказали, что число вида $4n^4 + 1$ является простым только при $n=1$.

Ответ: Утверждение доказано. При $n=1$ число равно 5 (простое). При любом натуральном $n>1$ число $4n^4+1$ раскладывается на два множителя $(2n^2-2n+1)$ и $(2n^2+2n+1)$, каждый из которых больше 1, следовательно, число является составным.