Вопросы, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - страница 75.

Условие.

1. Дайте определение понятия размещения без повторений из $n$ элементов по $k$ элементов.

2. По какой формуле можно найти число размещений из $n$ элементов по $k$?

3. Используя формулу $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, докажите, что:

а) $A_n^0 = 1$;

б) $A_n^1 = n$;

в) $A_n^n = P_n$.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Дайте определение понятия размещения без повторений из n элементов по k элементов.
Размещением без повторений из $n$ различных элементов по $k$ элементов (при условии, что $k \le n$) называется любой упорядоченный набор, состоящий из $k$ элементов, которые выбраны из данного множества, содержащего $n$ элементов. Два размещения считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Ответ: Размещения без повторений из $n$ по $k$ — это упорядоченные подмножества размера $k$ из множества, содержащего $n$ различных элементов.

2. По какой формуле можно найти число размещений из n элементов по k?
Число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ обозначается $A_n^k$ и вычисляется по основной формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.
Ответ: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

3. Используя формулу $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, докажите, что:
а) $A_n^0 = 1$
Подставим значение $k=0$ в формулу для числа размещений:
$A_n^0 = \frac{n!}{(n-0)!} = \frac{n!}{n!}$
Поскольку любое ненулевое число, разделенное на само себя, равно единице, получаем:
$A_n^0 = 1$
Что и требовалось доказать. Это также имеет комбинаторный смысл: существует ровно один способ выбрать ноль элементов из множества (то есть, ничего не выбрать).
Ответ: $A_n^0 = \frac{n!}{(n-0)!} = \frac{n!}{n!} = 1$.

б) $A_n^1 = n$
Подставим значение $k=1$ в формулу для числа размещений:
$A_n^1 = \frac{n!}{(n-1)!}$
Распишем факториал в числителе: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1 = n \cdot (n-1)!$.
$A_n^1 = \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}$
Сократим дробь на $(n-1)!$:
$A_n^1 = n$
Что и требовалось доказать. Комбинаторный смысл: существует ровно $n$ способов выбрать и упорядочить один элемент из $n$ имеющихся.
Ответ: $A_n^1 = \frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = n$.

в) $A_n^n = P_n$
Подставим значение $k=n$ в формулу для числа размещений:
$A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!}$
По определению, факториал нуля равен единице ($0! = 1$). Подставим это значение в знаменатель:
$A_n^n = \frac{n!}{1} = n!$
Число перестановок из $n$ элементов, обозначаемое $P_n$, также равно $n!$. Таким образом, мы доказали, что $A_n^n = n! = P_n$.
Комбинаторный смысл: число способов выбрать и упорядочить все $n$ элементов из $n$ имеющихся равно числу всех возможных перестановок этих элементов.
Ответ: $A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n! = P_n$.