Номер 236, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 236, страница 76.

Условие.

236. Сколькими способами можно составить расписание из 5 уроков на один день, если всего изучаемых предметов 14, а два урока по одному предмету не планируются?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать 5 предметов из 14 и расставить их в определённом порядке. Поскольку порядок уроков в расписании важен (например, математика первым уроком и физика вторым — это не то же самое, что физика первым и математика вторым), и предметы не могут повторяться (согласно условию "два урока по одному предмету не планируются"), мы имеем дело с размещениями без повторений.

Задачу можно решить, используя правило произведения:

1. Для первого урока можно выбрать любой из 14 предметов. Остается 13 предметов.

2. Для второго урока можно выбрать любой из оставшихся 13 предметов. Остается 12 предметов.

3. Для третьего урока можно выбрать любой из оставшихся 12 предметов. Остается 11 предметов.

4. Для четвертого урока можно выбрать любой из оставшихся 11 предметов. Остается 10 предметов.

5. Для пятого урока можно выбрать любой из оставшихся 10 предметов.

Общее количество способов составить расписание равно произведению числа вариантов для каждого урока:

$14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10$

Это соответствует формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае $n = 14$ (общее количество изучаемых предметов) и $k = 5$ (количество уроков в расписании).

Подставляем значения в формулу:

$A_{14}^5 = \frac{14!}{(14-5)!} = \frac{14!}{9!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9!}{9!} = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10$

Выполним вычисления:

$14 \times 13 = 182$

$182 \times 12 = 2184$

$2184 \times 11 = 24024$

$24024 \times 10 = 240240$

Таким образом, существует 240 240 способов составить расписание на один день.

Ответ: 240240