Номер 242, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 242, страница 76.

Условие.

242. Какое может быть наибольшее количество различных предметов, из которых можно составить не более 210 размещений по 2 предмета в каждом?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $n$ — искомое наибольшее количество различных предметов. Размещением из $n$ элементов по $k$ называется упорядоченный набор из $k$ элементов, выбранных из данных $n$ элементов. Число размещений из $n$ по $k$ обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В данной задаче мы составляем размещения по $k=2$ предмета из $n$ различных предметов. Количество таких размещений равно:$A_n^2 = \frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n(n-1)$.

Согласно условию, количество размещений не должно превышать 210. Это можно выразить с помощью неравенства:$A_n^2 \le 210$,что равносильно$n(n-1) \le 210$.

Для решения этого неравенства, раскроем скобки и преобразуем его в стандартный вид квадратного неравенства:$n^2 - n - 210 \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - n - 210 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$. Так как $\sqrt{841} = 29$, корни уравнения равны:$n_1 = \frac{1 + 29}{2} = 15$,$n_2 = \frac{1 - 29}{2} = -14$.

Графиком функции $y = n^2 - n - 210$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями, то есть при $-14 \le n \le 15$.

По смыслу задачи, количество предметов $n$ должно быть целым положительным числом. Кроме того, для составления размещений по 2 предмета необходимо, чтобы $n \ge 2$. Таким образом, мы ищем наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее условиям $n \ge 2$ и $-14 \le n \le 15$. Наибольшим таким числом является 15.

Выполним проверку:При $n=15$ число размещений составляет $A_{15}^2 = 15 \cdot (15-1) = 15 \cdot 14 = 210$. Это удовлетворяет условию $210 \le 210$.При $n=16$ число размещений составляет $A_{16}^2 = 16 \cdot (16-1) = 16 \cdot 15 = 240$. Это больше 210, что не удовлетворяет условию.Следовательно, наибольшее возможное количество предметов равно 15.

Ответ: 15