Номер 237, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 237, страница 76.

Условие.

237. В забеге на 100 м участвуют 8 спринтеров. Сколько существует вариантов распределения трех первых мест между ними?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Нам нужно определить количество способов, которыми можно выбрать и упорядочить 3-х победителей из 8-ми участников. Поскольку порядок, в котором спринтеры занимают места (1-е, 2-е, 3-е), важен, мы имеем дело с размещениями.

Количество размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае общее число участников (спринтеров) $n = 8$, а количество призовых мест $k = 3$. Подставим эти значения в формулу:
$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!}$

Распишем факториалы и сократим дробь, чтобы найти итоговое значение:
$A_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6$

Вычислим произведение:
$8 \times 7 \times 6 = 56 \times 6 = 336$

Также можно рассуждать, используя правило умножения:
- Первое место может занять любой из 8 спринтеров (8 вариантов).
- Второе место может занять любой из оставшихся 7 спринтеров (7 вариантов).
- Третье место может занять любой из оставшихся 6 спринтеров (6 вариантов).
Общее число вариантов равно произведению числа вариантов для каждого места: $8 \times 7 \times 6 = 336$.

Таким образом, существует 336 различных вариантов распределения трех первых мест.
Ответ: 336