Номер 243, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 243, страница 76.

Условие.

243. Решите уравнение:

а) $\frac{P_{n+2}}{A_n^5 \cdot P_{n-3}} = 21$

б) $\frac{P_{n+5}}{A_{n+3}^{k+3} \cdot P_{n-k}} = 240.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дано уравнение: $\frac{P_{n+2}}{A_n^5 \cdot P_{n-3}} = 21$.

Для решения воспользуемся формулами для числа перестановок $P_m = m!$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $n$. Все индексы в формулах комбинаторики должны быть целыми и неотрицательными, а для размещений $A_n^k$ верхний индекс не должен превышать нижний ($n \ge k$).

1. Из $P_{n+2}$ следует, что $n+2 \ge 0 \implies n \ge -2$.

2. Из $P_{n-3}$ следует, что $n-3 \ge 0 \implies n \ge 3$.

3. Из $A_n^5$ следует, что $n \ge 5$.

Объединяя все условия, получаем, что $n$ должно быть целым числом, и $n \ge 5$.

Теперь подставим формулы в исходное уравнение:

$P_{n+2} = (n+2)!$

$A_n^5 = \frac{n!}{(n-5)!}$

$P_{n-3} = (n-3)!$

Получаем: $\frac{(n+2)!}{\frac{n!}{(n-5)!} \cdot (n-3)!} = 21$.

Упростим левую часть уравнения, "перевернув" дробь в знаменателе:

$\frac{(n+2)! \cdot (n-5)!}{n! \cdot (n-3)!} = 21$.

Для сокращения дроби распишем факториалы с большим аргументом через факториалы с меньшим аргументом:

$(n+2)! = (n+2)(n+1)n!$

$(n-3)! = (n-3)(n-4)(n-5)!$

Подставим эти выражения и сократим одинаковые множители:

$\frac{(n+2)(n+1)n! \cdot (n-5)!}{n! \cdot (n-3)(n-4)(n-5)!} = 21$

$\frac{(n+2)(n+1)}{(n-3)(n-4)} = 21$

Решим полученное рациональное уравнение:

$(n+2)(n+1) = 21(n-3)(n-4)$

$n^2 + 3n + 2 = 21(n^2 - 7n + 12)$

$n^2 + 3n + 2 = 21n^2 - 147n + 252$

$20n^2 - 150n + 250 = 0$

Разделим все члены уравнения на 10:

$2n^2 - 15n + 25 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-(-15) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

$n_2 = \frac{-(-15) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5$

Согласно ОДЗ, $n$ должно быть целым числом и $n \ge 5$. Корень $n_2 = 2.5$ не является целым, поэтому он посторонний. Корень $n_1 = 5$ удовлетворяет условию $n \ge 5$.

Ответ: $n=5$.

б)

Дано уравнение: $\frac{P_{n+5}}{A_{n+3}^{k+3} \cdot P_{n-k}} = 240$.

Как и в предыдущем пункте, используем формулы для перестановок и размещений.

Определим ОДЗ для переменных $n$ и $k$. Переменные должны быть целыми числами.

1. Из $P_{n+5}$ следует, что $n+5 \ge 0 \implies n \ge -5$.

2. Из $P_{n-k}$ следует, что $n-k \ge 0 \implies n \ge k$.

3. Из $A_{n+3}^{k+3}$ следует, что $n+3 \ge 0 \implies n \ge -3$, $k+3 \ge 0 \implies k \ge -3$ и $n+3 \ge k+3 \implies n \ge k$.

Объединяя условия, получаем: $n$ и $k$ - целые числа, $n \ge -3$, $k \ge -3$ и $n \ge k$.

Подставим формулы в уравнение:

$P_{n+5} = (n+5)!$

$A_{n+3}^{k+3} = \frac{(n+3)!}{(n+3 - (k+3))!} = \frac{(n+3)!}{(n-k)!}$

$P_{n-k} = (n-k)!$

Получаем: $\frac{(n+5)!}{\frac{(n+3)!}{(n-k)!} \cdot (n-k)!} = 240$.

Упростим выражение в знаменателе. Множитель $(n-k)!$ сокращается:

$\frac{(n+5)!}{(n+3)!} = 240$.

Заметим, что уравнение не зависит от переменной $k$. Распишем $(n+5)!$ для сокращения дроби:

$(n+5)! = (n+5)(n+4)(n+3)!$

$\frac{(n+5)(n+4)(n+3)!}{(n+3)!} = 240$

$(n+5)(n+4) = 240$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$n^2 + 4n + 5n + 20 = 240$

$n^2 + 9n + 20 - 240 = 0$

$n^2 + 9n - 220 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-220) = 81 + 880 = 961 = 31^2$.

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-9 + 31}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-9 - 31}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Проверим корни по ОДЗ ($n$ - целое и $n \ge -3$). Корень $n_2 = -20$ не удовлетворяет условию $n \ge -3$. Корень $n_1 = 11$ удовлетворяет ОДЗ.

Итак, мы нашли значение $n=11$. Это решение справедливо для любого целого $k$, которое удовлетворяет ОДЗ: $k \ge -3$ и $n \ge k$, то есть $-3 \le k \le 11$.

Ответ: $n=11$, при любом целом $k$, удовлетворяющем условию $-3 \le k \le 11$.