Номер 250, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

9. Размещения без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 250, страница 77.

Условие.

250. Расшифруйте числовой ребус, в котором различные буквы обозначают различные цифры:

а) $ (КА)^К = ИКС $

б) $ Н^Н = ИКС $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) В ребусе $(КА)^К = ИКС$ буквы К, А, И, С обозначают различные цифры. Число КА является двузначным, а ИКС — трёхзначным.

Из условия следует, что $К \neq 0$ (так как КА — двузначное число) и $И \neq 0$ (так как ИКС — трёхзначное число). Также, результат $(КА)^К$ должен быть трёхзначным числом, то есть $100 \le (КА)^К \le 999$.

Рассмотрим возможные значения для К, которое является одновременно показателем степени и первой цифрой основания.

1. Если $К = 1$, то ребус принимает вид $(1А)^1 = И1С$. Это означает $10 + А = 100 \cdot И + 10 \cdot 1 + С$, что упрощается до $А = 100 \cdot И + С$. Так как А и С — это цифры от 0 до 9, а $И \neq 0$, это равенство невозможно. Следовательно, $К \neq 1$.

2. Если $К = 2$, то ребус принимает вид $(2А)^2 = И2С$. Результат И2С — это трёхзначное число. Найдём границы для основания $2А$: $10^2 = 100$, $31^2 = 961$, $32^2 = 1024$. Значит, основание $2А$ находится в пределах от 10 до 31. Так как первая цифра основания равна К=2, то $2А$ может быть числом от 20 до 29. Проверим квадраты этих чисел, ища те, у которых вторая цифра результата равна 2:

$20^2 = 400$ (вторая цифра 0)
$21^2 = 441$ (вторая цифра 4)
$22^2 = 484$ (здесь $К=А=2$, что противоречит условию о различных буквах)
$23^2 = 529$ (вторая цифра 2). Этот случай подходит. Проверим его: $К=2, А=3$. Тогда $(23)^2 = 529$. Получаем $ИКС = 529$, откуда $И=5, К=2, С=9$. Все буквы $К=2, А=3, И=5, С=9$ обозначают различные цифры. Это решение подходит.
$24^2 = 576$ (вторая цифра 7)
$25^2 = 625$ (вторая цифра 2). Проверим: $К=2, А=5$. Тогда $(25)^2 = 625$. Получаем $ИКС=625$, откуда $И=6, К=2, С=5$. Здесь $А=С=5$, что противоречит условию.
$26^2 = 676$ (вторая цифра 7)
$27^2 = 729$ (вторая цифра 2). Проверим: $К=2, А=7$. Тогда $(27)^2 = 729$. Получаем $ИКС=729$, откуда $И=7, К=2, С=9$. Здесь $А=И=7$, что противоречит условию.
$28^2 = 784$ (вторая цифра 8)
$29^2 = 841$ (вторая цифра 4)

Таким образом, при $К=2$ существует единственное решение.

3. Если $К = 3$, то основание $3А \ge 30$. Тогда $(3А)^3 \ge 30^3 = 27000$. Это пятизначное число, а ИКС — трёхзначное. Следовательно, $К \neq 3$.

4. Для всех $К > 3$ значение $(КА)^К$ будет ещё больше, так как $(10К)^К$ является возрастающей функцией при $К \ge 1$. Например, при $К=4$, $(4А)^4 \ge 40^4 > 999$. Значит, других решений нет.

Единственное решение ребуса: $К=2, А=3, И=5, С=9$.
Ответ: $23^2 = 529$.

б) В ребусе $Н^Н = ИКС$ буквы Н, И, К, С обозначают различные цифры. ИКС — трёхзначное число.

Из условия следует, что $100 \le Н^Н \le 999$. Также $Н, И, К, С$ — различные цифры, и $И \neq 0$.

Рассмотрим возможные значения для Н, которое является и основанием, и показателем степени.

1. Если $Н=1$, $1^1 = 1$ (не трёхзначное).
2. Если $Н=2$, $2^2 = 4$ (не трёхзначное).
3. Если $Н=3$, $3^3 = 27$ (не трёхзначное).
4. Если $Н=4$, $4^4 = 256$. Это трёхзначное число. Проверим, соответствует ли оно условиям.$Н=4$. $ИКС = 256$, то есть $И=2, К=5, С=6$.Проверим на уникальность цифр: $Н=4, И=2, К=5, С=6$. Все цифры (4, 2, 5, 6) различны. Это решение подходит.
5. Если $Н=5$, $5^5 = 3125$. Это четырёхзначное число, что больше 999.6. Для всех $Н > 4$ результат $Н^Н$ будет ещё больше, так как $n^n$ — возрастающая функция для $n \ge 2$. Следовательно, других решений нет.

Единственное решение ребуса: $Н=4, И=2, К=5, С=6$.
Ответ: $4^4 = 256$.