Номер 251, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 251, страница 80.

Условие.

251. На 5 сотрудников выделены три одинаковые премии. Сколько существует вариантов награждения ими этих сотрудников?

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная задача относится к разделу комбинаторики. Нам необходимо найти количество способов распределить три одинаковые премии среди пяти сотрудников. Поскольку премии одинаковые, порядок выбора награждаемых сотрудников не имеет значения. Например, если премии получат Иванов, Петров и Сидоров, то это будет один и тот же вариант, независимо от того, в какой последовательности они были выбраны. Это означает, что нам нужно найти число сочетаний.

Задача сводится к вычислению числа сочетаний из 5 элементов по 3. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где:

$n$ — общее количество элементов, из которых делается выбор (в нашем случае — 5 сотрудников).

$k$ — количество элементов, которое нужно выбрать (в нашем случае — 3 премии, а значит, 3 сотрудника).

Подставим наши значения в формулу:

$n = 5$

$k = 3$

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!}$

Теперь проведем вычисления. Распишем факториалы:

$C_5^3 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10$

Для удобства можно сократить вычисления:

$C_5^3 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

Следовательно, существует 10 различных вариантов награждения трех сотрудников из пяти одинаковыми премиями.

Ответ: 10