Номер 258, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 258, страница 80.
№258 (с. 80)
Условие. №258 (с. 80)
скриншот условия

258. Решите уравнение:
$C_n^2 + n = 6.$
Решение. №258 (с. 80)


Решение 2 (rus). №258 (с. 80)
Исходное уравнение: $C_n^2 + n = 6$.
Выражение $C_n^2$ — это число сочетаний из $n$ по $2$. Формула для числа сочетаний имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В данном случае $k=2$, поэтому:
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$
Упростим это выражение, расписав факториал в числителе:
$C_n^2 = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$
По определению числа сочетаний, $n$ должно быть целым числом и удовлетворять условию $n \ge k$. В нашем случае $n \ge 2$.
Теперь подставим упрощенное выражение для $C_n^2$ в исходное уравнение:
$\frac{n(n-1)}{2} + n = 6$
Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:
$n(n-1) + 2n = 12$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$n^2 - n + 2n = 12$
$n^2 + n = 12$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$n^2 + n - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Мы получили два корня: $n_1 = 3$ и $n_2 = -4$. Необходимо проверить их на соответствие условию $n \ge 2$.
Корень $n_1 = 3$ удовлетворяет этому условию ($3 \ge 2$), следовательно, он является решением уравнения.
Корень $n_2 = -4$ не удовлетворяет этому условию ($-4 < 2$), следовательно, он является посторонним корнем.
Проверим найденный корень $n=3$, подставив его в исходное уравнение:
$C_3^2 + 3 = \frac{3(3-1)}{2} + 3 = \frac{3 \cdot 2}{2} + 3 = 3 + 3 = 6$
$6 = 6$
Равенство верное.
Ответ: 3.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 258 расположенного на странице 80 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №258 (с. 80), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.