Номер 258, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 258, страница 80.

Условие.

258. Решите уравнение:

$C_n^2 + n = 6.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Исходное уравнение: $C_n^2 + n = 6$.

Выражение $C_n^2$ — это число сочетаний из $n$ по $2$. Формула для числа сочетаний имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $k=2$, поэтому:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$

Упростим это выражение, расписав факториал в числителе:

$C_n^2 = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

По определению числа сочетаний, $n$ должно быть целым числом и удовлетворять условию $n \ge k$. В нашем случае $n \ge 2$.

Теперь подставим упрощенное выражение для $C_n^2$ в исходное уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} + n = 6$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:

$n(n-1) + 2n = 12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n^2 - n + 2n = 12$

$n^2 + n = 12$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 + n - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Мы получили два корня: $n_1 = 3$ и $n_2 = -4$. Необходимо проверить их на соответствие условию $n \ge 2$.

Корень $n_1 = 3$ удовлетворяет этому условию ($3 \ge 2$), следовательно, он является решением уравнения.

Корень $n_2 = -4$ не удовлетворяет этому условию ($-4 < 2$), следовательно, он является посторонним корнем.

Проверим найденный корень $n=3$, подставив его в исходное уравнение:

$C_3^2 + 3 = \frac{3(3-1)}{2} + 3 = \frac{3 \cdot 2}{2} + 3 = 3 + 3 = 6$

$6 = 6$

Равенство верное.

Ответ: 3.