Номер 264, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 264, страница 81.

Условие.

264. Сколько разносторонних треугольников можно составить из отрезков, длины которых (см) равны:

а) 4, 5, 6, 7;

б) 2, 3, 4, 5?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы из трех отрезков можно было составить треугольник, необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны. Так как в условии требуется найти количество разносторонних треугольников, все три выбранных отрезка должны иметь разную длину. В обоих подпунктах все исходные отрезки имеют разную длину, поэтому любой составленный из них треугольник будет разносторонним.

а) Даны отрезки с длинами 4, 5, 6, 7.
Нужно выбрать 3 отрезка из 4. Общее число способов сделать это равно числу сочетаний из 4 по 3: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
Рассмотрим все возможные комбинации длин сторон и проверим для каждой выполнимость неравенства треугольника (достаточно проверить, что сумма длин двух меньших сторон больше длины большей стороны):
1. Комбинация {4, 5, 6}: $4 + 5 > 6$ (так как $9 > 6$). Треугольник можно составить.
2. Комбинация {4, 5, 7}: $4 + 5 > 7$ (так как $9 > 7$). Треугольник можно составить.
3. Комбинация {4, 6, 7}: $4 + 6 > 7$ (так как $10 > 7$). Треугольник можно составить.
4. Комбинация {5, 6, 7}: $5 + 6 > 7$ (так как $11 > 7$). Треугольник можно составить.
Все 4 комбинации удовлетворяют неравенству треугольника.
Ответ: 4.

б) Даны отрезки с длинами 2, 3, 4, 5.
Число возможных комбинаций из 3 отрезков также равно $C_4^3 = 4$.
Рассмотрим все возможные комбинации длин сторон и проверим для каждой выполнимость неравенства треугольника:
1. Комбинация {2, 3, 4}: $2 + 3 > 4$ (так как $5 > 4$). Треугольник можно составить.
2. Комбинация {2, 3, 5}: $2 + 3 = 5$. Неравенство $2 + 3 > 5$ не выполняется. Треугольник составить нельзя (получится вырожденный треугольник, где все вершины лежат на одной прямой).
3. Комбинация {2, 4, 5}: $2 + 4 > 5$ (так как $6 > 5$). Треугольник можно составить.
4. Комбинация {3, 4, 5}: $3 + 4 > 5$ (так как $7 > 5$). Треугольник можно составить.
Таким образом, можно составить 3 разносторонних треугольника.
Ответ: 3.