Номер 263, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 263, страница 81.

Условие.

263. Из одной вершины треугольника проведены 4 луча, пересекающие его сторону. Сколько при этом получилось треугольников?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи рассмотрим, как образуются треугольники.Пусть у нас есть исходный треугольник, назовем его вершины А, В и С. Из вершины А проводятся 4 луча, которые пересекают противолежащую сторону ВС.

Каждый новый треугольник будет иметь одну общую вершину А. Две другие вершины каждого треугольника будут лежать на отрезке ВС.

Проведенные 4 луча создают 4 новые точки на стороне ВС. Вместе с исходными вершинами В и С на отрезке ВС теперь находится $2 + 4 = 6$ точек. Обозначим их $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$.

Чтобы образовать треугольник, нам нужно выбрать одну вершину А (она у нас уже есть) и две любые точки из 6 точек, лежащих на стороне ВС. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти количество способов выбрать 2 точки из 6 имеющихся.

Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=6$ (общее количество точек на стороне ВС), а $k=2$ (поскольку для основания треугольника нужно выбрать две точки).

Подставляем наши значения в формулу:$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

Другой способ рассуждения:4 луча делят исходный треугольник на $4 + 1 = 5$ маленьких треугольников.

• Количество треугольников, состоящих из одной части: 5
• Количество треугольников, состоящих из двух смежных частей: 4
• Количество треугольников, состоящих из трех смежных частей: 3
• Количество треугольников, состоящих из четырех смежных частей: 2
• Количество треугольников, состоящих из пяти смежных частей (исходный треугольник): 1

Сложив все эти треугольники, мы получим общее количество:$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$

Таким образом, всего получилось 15 треугольников.

Ответ: 15