Номер 265, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. Сочетания без повторений. II. Элементы комбинаторики - номер 265, страница 81.

Условие.

265. Сколько различных правильных обыкновенных дробей можно составить из первых 8 простых чисел, чтобы в каждую из них входили только два простых числа?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи нужно найти, сколько различных пар чисел можно составить из первых 8 простых чисел. Каждая такая пара, где одно число меньше другого, будет образовывать одну уникальную правильную дробь.

1. Определяем первые 8 простых чисел.Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя. Выпишем первые 8 таких чисел в порядке возрастания:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

2. Анализируем условия составления дроби.Дробь должна быть правильной, то есть её числитель должен быть меньше знаменателя. Числитель и знаменатель должны быть двумя разными простыми числами из нашего списка.Это означает, что для каждой пары различных простых чисел, которые мы выберем, существует только один способ составить правильную дробь: меньшее число станет числителем, а большее — знаменателем. Например, из пары чисел {3, 11} можно составить только одну правильную дробь $\frac{3}{11}$.

3. Вычисляем количество возможных дробей.Задача сводится к нахождению количества способов выбрать 2 различных числа из множества, содержащего 8 чисел. Поскольку порядок выбора чисел не важен (пара {3, 11} эквивалентна паре {11, 3} для нашей цели), мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$В нашем случае общее количество чисел $n=8$, а для каждой дроби мы выбираем $k=2$ числа.

Подставим значения в формулу:$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Таким образом, из первых 8 простых чисел можно составить 28 различных правильных обыкновенных дробей.

Ответ: 28