Вопросы, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - страница 85.

Условие.

1. Что называют биномом Ньютона?

2. Какие свойства биномиальных коэффициентов вы знаете?

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Что называют биномом Ньютона?

Биномом Ньютона называют формулу для разложения в многочлен выражения $(a+b)^n$, где $n$ — целое неотрицательное число. Эта формула позволяет возвести двучлен (бином) $a+b$ в любую натуральную степень $n$.

Общий вид формулы бинома Ньютона следующий:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Если расписать сумму, формула выглядит так:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$

В этой формуле:

• $a$ и $b$ — любые действительные или комплексные числа, или в более общем случае — элементы коммутативного кольца.

• $n$ — целое неотрицательное число, называемое показателем степени.

• $C_n^k$ (читается как "C из n по k") — это биномиальные коэффициенты, которые представляют собой число сочетаний из $n$ элементов по $k$. Они вычисляются по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. По определению, $0! = 1$.

Например, разложим $(a+b)^3$ с помощью бинома Ньютона:

$(a+b)^3 = C_3^0 a^3 + C_3^1 a^2b + C_3^2 ab^2 + C_3^3 b^3 = 1 \cdot a^3 + 3 \cdot a^2b + 3 \cdot ab^2 + 1 \cdot b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Ответ:

2. Какие свойства биномиальных коэффициентов вы знаете?

Биномиальные коэффициенты $C_n^k$ обладают множеством полезных свойств. Вот некоторые из них:

Свойство 1: Симметрия.

Коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой. Это свойство отражает симметрию треугольника Паскаля.

$C_n^k = C_n^{n-k}$

Например, $C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$ и $C_5^{5-2} = C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$.

Свойство 2: Граничные значения.

Первый и последний коэффициенты в разложении бинома любой степени всегда равны единице.

$C_n^0 = C_n^n = 1$

Также, по определению, $C_n^1 = C_n^{n-1} = n$.

Свойство 3: Тождество Паскаля.

Это основное рекуррентное соотношение, которое связывает коэффициенты для степени $n$ с коэффициентами для степени $n-1$. Оно лежит в основе построения треугольника Паскаля, где каждый элемент равен сумме двух элементов, стоящих над ним.

$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$ (при $0 < k < n$)

Например, $C_4^2 = 6$, и это равно $C_3^1 + C_3^2 = 3 + 3 = 6$.

Свойство 4: Сумма коэффициентов в строке.

Сумма всех биномиальных коэффициентов для данной степени $n$ равна $2^n$.

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$

Это свойство легко доказывается, если в формулу бинома Ньютона $(a+b)^n$ подставить $a=1$ и $b=1$.

Свойство 5: Сумма коэффициентов с чередующимися знаками.

Сумма биномиальных коэффициентов с чередующимися знаками равна нулю для любого натурального $n$.

$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0$ (при $n \ge 1$)

Это свойство получается, если в формулу бинома Ньютона подставить $a=1$ и $b=-1$, что дает $(1-1)^n = 0$.

Ответ: