Номер 273, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 273, страница 86.

Условие.

273. Найдите наибольший биномиальный коэффициент разложения:

a) $(m+n)^8$;

б) $(x+y)^7$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Общий вид разложения бинома Ньютона для $(m+n)^n$ следующий: $(m+n)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k m^{n-k} n^k$, где $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты. Они вычисляются по формуле $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В данном случае показатель степени $n=8$. Так как $n$ — четное число, наибольший биномиальный коэффициент будет один, и он будет находиться в центре ряда коэффициентов. Номер этого коэффициента $k$ равен $n/2$.
$k = \frac{8}{2} = 4$.
Следовательно, нам нужно найти $C_8^4$.
$C_8^4 = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 7 \times 2 \times 5 = 70$.
Таким образом, наибольший биномиальный коэффициент в разложении $(m+n)^8$ равен 70.
Ответ: 70

б) В разложении $(x+y)^7$ показатель степени $n=7$. Так как $n$ — нечетное число, в разложении будет два равных наибольших биномиальных коэффициента. Они соответствуют центральным членам разложения с номерами $k_1 = \frac{n-1}{2}$ и $k_2 = \frac{n+1}{2}$.
$k_1 = \frac{7-1}{2} = 3$.
$k_2 = \frac{7+1}{2} = 4$.
Найдем значение этих коэффициентов. В силу свойства симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, имеем $C_7^3 = C_7^{7-3} = C_7^4$. Вычислим один из них, например $C_7^3$:
$C_7^3 = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$.
Значит, наибольший биномиальный коэффициент в разложении $(x+y)^7$ равен 35.
Ответ: 35