Номер 279, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 279, страница 86.

Условие.

279. Укажите номер члена разложения бинома $ (x+y)^n $ с наибольшим биномиальным коэффициентом, если:

а) $n = 50$;

б) $n = 101$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Разложение бинома Ньютона для $(x+y)^n$ задается формулой:

$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \dots + \binom{n}{k}x^{n-k}y^k + \dots + \binom{n}{n}y^n $

Здесь $\binom{n}{k}$ — биномиальные коэффициенты. Член разложения с номером $k+1$ (так как нумерация $k$ начинается с 0) имеет вид $T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$. Нам нужно найти номер члена, у которого коэффициент $\binom{n}{k}$ является наибольшим.

Величина биномиальных коэффициентов $\binom{n}{k}$ для фиксированного $n$ возрастает при увеличении $k$ от 0 до середины и затем убывает. Точка максимума зависит от четности $n$.

1. Если $n$ — чётное число ($n=2m$), то наибольший коэффициент в разложении один. Он соответствует среднему значению $k=m=n/2$. Номер этого члена будет $k+1 = n/2 + 1$.

2. Если $n$ — нечётное число ($n=2m+1$), то в разложении есть два равных наибольших коэффициента. Они соответствуют двум средним значениям $k=m=(n-1)/2$ и $k=m+1=(n+1)/2$. Номера этих членов — $\frac{n-1}{2}+1 = \frac{n+1}{2}$ и $\frac{n+1}{2}+1 = \frac{n+3}{2}$.

а) n = 50

Поскольку $n=50$ — это чётное число, наибольший биномиальный коэффициент будет один. Он достигается при $k = n/2$.

$k = 50/2 = 25$.

Это соответствует коэффициенту $\binom{50}{25}$. Номер члена в разложении определяется как $k+1$.

Номер члена = $25 + 1 = 26$.

Ответ: 26.

б) n = 101

Поскольку $n=101$ — это нечётное число, в разложении будет два члена с равными наибольшими биномиальными коэффициентами. Они соответствуют значениям $k_1 = (n-1)/2$ и $k_2 = (n+1)/2$.

$k_1 = (101-1)/2 = 100/2 = 50$.

$k_2 = (101+1)/2 = 102/2 = 51$.

Наибольшие коэффициенты — это $\binom{101}{50}$ и $\binom{101}{51}$. Номера соответствующих членов равны $k_1+1$ и $k_2+1$.

Номер первого члена = $50 + 1 = 51$.

Номер второго члена = $51 + 1 = 52$.

Ответ: 51 и 52.