Номер 285, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 285, страница 87.

Условие.

285. Вычислите:

а) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^5$;

б) $(\sqrt{3} - 1)^6$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^5$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n$

В нашем случае $a = \sqrt{5}$, $b = \sqrt{2}$, $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны: $C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$, $C_5^5=1$.

Разложим выражение по формуле:

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^5 = C_5^0(\sqrt{5})^5 + C_5^1(\sqrt{5})^4(\sqrt{2})^1 + C_5^2(\sqrt{5})^3(\sqrt{2})^2 + C_5^3(\sqrt{5})^2(\sqrt{2})^3 + C_5^4(\sqrt{5})^1(\sqrt{2})^4 + C_5^5(\sqrt{2})^5$

Теперь вычислим каждый член разложения:

$C_5^0(\sqrt{5})^5 = 1 \cdot (\sqrt{5})^5 = (\sqrt{5}^2)^2 \cdot \sqrt{5} = 5^2 \cdot \sqrt{5} = 25\sqrt{5}$

$C_5^1(\sqrt{5})^4(\sqrt{2})^1 = 5 \cdot (\sqrt{5})^4 \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 5^2 \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 25 \cdot \sqrt{2} = 125\sqrt{2}$

$C_5^2(\sqrt{5})^3(\sqrt{2})^2 = 10 \cdot (5\sqrt{5}) \cdot 2 = 100\sqrt{5}$

$C_5^3(\sqrt{5})^2(\sqrt{2})^3 = 10 \cdot 5 \cdot (2\sqrt{2}) = 100\sqrt{2}$

$C_5^4(\sqrt{5})^1(\sqrt{2})^4 = 5 \cdot \sqrt{5} \cdot 4 = 20\sqrt{5}$

$C_5^5(\sqrt{2})^5 = 1 \cdot (\sqrt{2})^5 = (\sqrt{2}^2)^2 \cdot \sqrt{2} = 2^2 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Сложим все полученные значения:

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^5 = 25\sqrt{5} + 125\sqrt{2} + 100\sqrt{5} + 100\sqrt{2} + 20\sqrt{5} + 4\sqrt{2}$

Сгруппируем слагаемые с $\sqrt{5}$ и с $\sqrt{2}$:

$(25\sqrt{5} + 100\sqrt{5} + 20\sqrt{5}) + (125\sqrt{2} + 100\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = (25+100+20)\sqrt{5} + (125+100+4)\sqrt{2} = 145\sqrt{5} + 229\sqrt{2}$

Ответ: $145\sqrt{5} + 229\sqrt{2}$

б) Для вычисления $(\sqrt{3} - 1)^6$ также воспользуемся формулой бинома Ньютона для разности:

$(a-b)^n = C_n^0 a^n - C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 - \dots + (-1)^n C_n^n b^n$

В данном случае $a = \sqrt{3}$, $b = 1$, $n=6$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны: $C_6^0=1$, $C_6^1=6$, $C_6^2=15$, $C_6^3=20$, $C_6^4=15$, $C_6^5=6$, $C_6^6=1$.

Разложим выражение по формуле, учитывая чередование знаков:

$(\sqrt{3} - 1)^6 = C_6^0(\sqrt{3})^6 - C_6^1(\sqrt{3})^5 \cdot 1^1 + C_6^2(\sqrt{3})^4 \cdot 1^2 - C_6^3(\sqrt{3})^3 \cdot 1^3 + C_6^4(\sqrt{3})^2 \cdot 1^4 - C_6^5(\sqrt{3})^1 \cdot 1^5 + C_6^6(\sqrt{3})^0 \cdot 1^6$

Вычислим каждый член разложения:

$C_6^0(\sqrt{3})^6 = 1 \cdot (\sqrt{3})^6 = 3^3 = 27$

$-C_6^1(\sqrt{3})^5 = -6 \cdot (\sqrt{3})^5 = -6 \cdot (3^2 \cdot \sqrt{3}) = -6 \cdot 9\sqrt{3} = -54\sqrt{3}$

$C_6^2(\sqrt{3})^4 = 15 \cdot (\sqrt{3})^4 = 15 \cdot 3^2 = 15 \cdot 9 = 135$

$-C_6^3(\sqrt{3})^3 = -20 \cdot (\sqrt{3})^3 = -20 \cdot (3\sqrt{3}) = -60\sqrt{3}$

$C_6^4(\sqrt{3})^2 = 15 \cdot (\sqrt{3})^2 = 15 \cdot 3 = 45$

$-C_6^5(\sqrt{3})^1 = -6 \cdot \sqrt{3} = -6\sqrt{3}$

$C_6^6(\sqrt{3})^0 = 1 \cdot (\sqrt{3})^0 \cdot 1^6 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Сложим все полученные значения:

$(\sqrt{3} - 1)^6 = 27 - 54\sqrt{3} + 135 - 60\sqrt{3} + 45 - 6\sqrt{3} + 1$

Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:

$(27 + 135 + 45 + 1) + (-54\sqrt{3} - 60\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) = 208 - (54+60+6)\sqrt{3} = 208 - 120\sqrt{3}$

Ответ: $208 - 120\sqrt{3}$