Номер 282, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 282, страница 86.

Условие.

282. Найдите с точностью до 0,01 приближенное значение выражения:

а) $1,01^5$;

б) $0,99^4$;

в) $1,03^8$;

г) $0,95^7$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения приближенных значений выражений вида $(1+x)^n$, где $|x|$ является малым числом, используется формула приближенного вычисления, основанная на разложении бинома Ньютона: $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$. В зависимости от требуемой точности, можно использовать линейное приближение $(1+x)^n \approx 1 + nx$ или, для большей точности, квадратичное приближение $(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2$.

а) Представим выражение $1,01^5$ в виде $(1+x)^n$, где $x=0,01$ и $n=5$. Применим формулу линейного приближения: $1,01^5 = (1+0,01)^5 \approx 1 + 5 \cdot 0,01 = 1 + 0,05 = 1,05$. Для оценки погрешности вычислим следующий член разложения: $\frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{5 \cdot 4}{2}(0,01)^2 = 10 \cdot 0,0001 = 0,001$. Так как $0,001$ меньше требуемой точности $0,01$, линейного приближения достаточно. Более точное значение равно $1,05 + 0,001 = 1,051$, что при округлении до сотых дает $1,05$. Ответ: $1,05$.

б) Представим $0,99^4$ в виде $(1 - 0,01)^4$. Здесь $x=-0,01$ и $n=4$. Используем линейное приближение: $0,99^4 \approx 1 + 4 \cdot (-0,01) = 1 - 0,04 = 0,96$. Следующий член разложения равен $\frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{4 \cdot 3}{2}(-0,01)^2 = 6 \cdot 0,0001 = 0,0006$. Эта величина мала по сравнению с $0,01$, поэтому приближение $0,96$ является достаточным. Более точное значение равно $0,96 + 0,0006 = 0,9606$, что при округлении до сотых дает $0,96$. Ответ: $0,96$.

в) Представим $1,03^8$ в виде $(1 + 0,03)^8$. Здесь $x=0,03$ и $n=8$. Линейное приближение дает: $1,03^8 \approx 1 + 8 \cdot 0,03 = 1 + 0,24 = 1,24$. Вычислим следующий член разложения для оценки погрешности: $\frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{8 \cdot 7}{2}(0,03)^2 = 28 \cdot 0,0009 = 0,0252$. Эта величина ($0,0252$) сопоставима с требуемой точностью, поэтому линейное приближение не подходит. Используем квадратичное приближение: $1,03^8 \approx 1+nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 \approx 1 + 0,24 + 0,0252 = 1,2652$. Округляя результат до сотых, получаем $1,27$. Ответ: $1,27$.

г) Представим $0,95^7$ в виде $(1 - 0,05)^7$. Здесь $x=-0,05$ и $n=7$. Линейное приближение: $0,95^7 \approx 1 + 7 \cdot (-0,05) = 1 - 0,35 = 0,65$. Оценим погрешность, вычислив следующий член: $\frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{7 \cdot 6}{2}(-0,05)^2 = 21 \cdot 0,0025 = 0,0525$. Погрешность ($0,0525$) слишком велика. Применим квадратичное приближение: $0,95^7 \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 \approx 1 - 0,35 + 0,0525 = 0,7025$. Округляя до сотых, получаем $0,70$. Ответ: $0,70$.