Номер 281, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 281, страница 86.

Условие.

281. Установите, верно ли равенство:

а) $(\sqrt{2} + 1)^4 = 17 + 12\sqrt{2}$;

б) $(\sqrt{2} - 1)^4 = 17 - 12\sqrt{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы проверить верность равенства $(\sqrt{2} + 1)^4 = 17 + 12\sqrt{2}$, нужно возвести выражение в левой части в четвертую степень. Удобнее всего сделать это, представив четвертую степень как квадрат квадрата: $(\sqrt{2} + 1)^4 = ((\sqrt{2} + 1)^2)^2$.

Сначала возведем в квадрат выражение в скобках, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$.

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 4 \cdot 2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$.

Результат совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим второе равенство $(\sqrt{2} - 1)^4 = 17 - 12\sqrt{2}$ аналогичным способом. Представим левую часть как $((\sqrt{2} - 1)^2)^2$.

Сначала возведем в квадрат выражение в скобках, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$.

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(3 - 2\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 4 \cdot 2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}$.

Результат совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, это равенство также верно.

Ответ: да, равенство верно.