Номер 287, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 287, страница 87.

Условие.

287. Найдите пятый биномиальный коэффициент в разложении бинома $(1+x)^n$, если:

а) третий биномиальный коэффициент равен 28;

б) отношение третьего биномиального коэффициента ко второму равно 5,5.

Решение.

Решение 2 (rus).

Общая формула для разложения бинома Ньютона $(1+x)^n$ имеет вид:

$(1+x)^n = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^k x^k + \dots + C_n^n x^n$

где биномиальные коэффициенты $C_n^k$ вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Нумерация коэффициентов начинается с нуля, поэтому $k$-ый по счету биномиальный коэффициент — это $C_n^{k-1}$.

Таким образом:

• Второй биномиальный коэффициент — это $C_n^1$.
• Третий биномиальный коэффициент — это $C_n^2$.
• Пятый биномиальный коэффициент (который нужно найти) — это $C_n^4$.

а)

По условию, третий биномиальный коэффициент равен 28. Запишем это в виде уравнения:

$C_n^2 = 28$

Используем формулу для биномиального коэффициента:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Теперь решим уравнение относительно $n$:

$\frac{n(n-1)}{2} = 28$

$n(n-1) = 56$

$n^2 - n - 56 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Заметим, что $56 = 8 \cdot 7$. Так как $n$ и $n-1$ — последовательные целые числа, то $n=8$. Второй корень уравнения $n=-7$ не подходит, так как степень бинома $n$ должна быть натуральным числом.

Итак, $n=8$. Теперь найдем пятый биномиальный коэффициент $C_n^4$ для $n=8$:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70$

Ответ: 70

б)

По условию, отношение третьего биномиального коэффициента ко второму равно 5,5.

$\frac{C_n^2}{C_n^1} = 5.5$

Запишем выражения для коэффициентов:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

$C_n^1 = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n$

Подставим их в уравнение:

$\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n} = 5.5$

Упростим выражение (при $n \neq 0$):

$\frac{n-1}{2} = 5.5$

$n-1 = 11$

$n=12$

Мы нашли степень бинома $n=12$. Теперь найдем пятый биномиальный коэффициент $C_n^4$ для $n=12$:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11880}{24} = 495$

Ответ: 495