Номер 291, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. Бином Ньютона и его свойства. II. Элементы комбинаторики - номер 291, страница 87.

Условие.

291. Что больше: $9^7 + 10^7$ или $11^7$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы определить, какое из выражений больше, $9^7 + 10^7$ или $11^7$, преобразуем задачу. Вместо сравнения $9^7 + 10^7$ с $11^7$, будем сравнивать $10^7$ с разностью $11^7 - 9^7$. Если $11^7 - 9^7 > 10^7$, то $11^7 > 9^7 + 10^7$. Если же $11^7 - 9^7 < 10^7$, то $11^7 < 9^7 + 10^7$.

Для вычисления разности $11^7 - 9^7$ представим числа $11$ и $9$ как $10+1$ и $10-1$ соответственно. Тогда нам нужно вычислить $(10+1)^7 - (10-1)^7$. Воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ и $(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k$.

При вычитании $(a-b)^n$ из $(a+b)^n$ все члены с четными степенями $b$ сокращаются, а члены с нечетными степенями $b$ удваиваются:$(a+b)^n - (a-b)^n = 2 \left( \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{3}a^{n-3}b^3 + \binom{n}{5}a^{n-5}b^5 + \dots \right)$.

Подставим в эту формулу наши значения: $a=10$, $b=1$ и $n=7$.$11^7 - 9^7 = (10+1)^7 - (10-1)^7 = 2 \left( \binom{7}{1}10^{6} \cdot 1^1 + \binom{7}{3}10^{4} \cdot 1^3 + \binom{7}{5}10^{2} \cdot 1^5 + \binom{7}{7}10^{0} \cdot 1^7 \right)$.

Вычислим биномиальные коэффициенты:$\binom{7}{1} = \frac{7!}{1!(7-1)!} = 7$$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$$\binom{7}{7} = \frac{7!}{7!(7-7)!} = 1$

Теперь подставим эти значения в выражение для разности:$11^7 - 9^7 = 2 \left( 7 \cdot 10^6 + 35 \cdot 10^4 + 21 \cdot 10^2 + 1 \cdot 1 \right)$.

Проведем вычисления:$11^7 - 9^7 = 2 \left( 7 \cdot 1000000 + 35 \cdot 10000 + 21 \cdot 100 + 1 \right)$$11^7 - 9^7 = 2 \left( 7000000 + 350000 + 2100 + 1 \right)$$11^7 - 9^7 = 2 \left( 7352101 \right)$$11^7 - 9^7 = 14704202$.

Теперь сравним полученное значение с $10^7 = 10000000$.Очевидно, что $14704202 > 10000000$.Следовательно, $11^7 - 9^7 > 10^7$.

Из этого неравенства следует, что $11^7 > 9^7 + 10^7$.Ответ: $11^7$ больше, чем $9^7 + 10^7$.